Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình ...
Giải bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình
Đề bài
Giải các bất phương trình
a) ({2^{2x - 1}} + { m{ }}2{^{2x - 2}} + { m{ }}{2^{2x - 3}} ge { m{ }}448)
b) ({left( {0,4} ight)^x}-{ m{ }}{left( {2,5} ight)^{x + 1}} > { m{ }}1,5)
c) ({log _3}left[ {{{log }_{{1 over 2}}}({x^2} - 1)} ight] < 1)
d) ({log _{0,2}}^2x - 5{log _{0,2}}x < - 6)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Đặt nhân tử chung (2^{2x-3}), đưa bất phương trình mũ về dạng cơ bản:
({a^x} ge b Leftrightarrow left[ egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1x ge {log _a}bend{array} ight.left{ egin{array}{l}0 < a < 1x le {log _a}bend{array} ight.end{array} ight.)
b) Đặt ẩn phụ (t = {left( {0,4} ight)^x}), để ý rằng: (0,4.2,5 = 1 Rightarrow {left( {0,4} ight)^x}.{left( {2,5} ight)^x} = 1 Rightarrow {left( {2,5} ight)^x} = frac{1}{{{{left( {0,4} ight)}^x}}}).
c) Giải bất phương trình logarit cơ bản:
({log _a}fleft( x ight) < b Rightarrow left[ egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1fleft( x ight) < {a^b}end{array} ight.left{ egin{array}{l}0 < a < 1fleft( x ight) > {a^b}end{array} ight.end{array} ight.)
d) Đặt ẩn phụ (t = {log _{0,2}}x).
Lời giải chi tiết
(egin{array}{l}a),,,{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} ge 448Leftrightarrow {2^{2x - 3}}{.2^2} + {2^{2x - 3}}{.2^1} + {2^{2x - 3}} ge 448Leftrightarrow {2^{2x - 3}}left( {4 + 2 + 1} ight) ge 448Leftrightarrow {7.2^{2x - 3}} ge 448Leftrightarrow {2^{2x - 3}} ge 64Leftrightarrow 2x - 3 ge {log _2}64 = 6Leftrightarrow x ge frac{9}{2}end{array})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: (S=[{{9}over {2}}; +∞)).
(egin{array}{l}b),,{left( {0,4} ight)^x} - {left( {2,5} ight)^{x + 1}} > 1,5Leftrightarrow {left( {0,4} ight)^x} - 2,5.{left( {2,5} ight)^x} > 1,5Leftrightarrow {left( {0,4} ight)^x} - 2,5.frac{1}{{{{left( {0,4} ight)}^x}}} > 1,5end{array})
Đặt (t = {(0,4)}^x> 0), bất phương trình đã cho trở thành:
(eqalign{
& t - {{2,5} over t} > 1,5 Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t < - 1 hfill cr
t > 2,5 hfill cr}
ight. cr} )
Do (t = {(0,4)}^x> 0), bất phương trình đã cho tương đương với:
({left( {0,4} ight)^x} > { m{ }}2,5{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}{left( {0,4} ight)^x} > { m{ }}{left( {0,4} ight)^{ - 1}} Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} < { m{ }} - 1).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (S = left( { - infty ; - 1} ight)).
c) ĐK: (left{ egin{array}{l}{log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} ight) > 0{x^2} - 1 > 0end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}{x^2} - 1 < {left( {frac{1}{2}} ight)^0} = 1{x^2} - 1 > 0end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}- sqrt 2 < x < sqrt 2 left[ egin{array}{l}x > 1x < - 1end{array} ight.end{array} ight. Leftrightarrow x in left( { - sqrt 2 ;1} ight) cup left( {1;sqrt 2 } ight))
Ta có:
(egin{array}{l},,,,,{log _3}left[ {{{log }_{frac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} ight)} ight] < 1Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} - 1} ight) < {3^1} = 3,,left( {Do,3 > 1} ight)Leftrightarrow {x^2} - 1 > {left( {frac{1}{2}} ight)^3} = frac{1}{8},,left( {Do,,0 < ,frac{1}{2} < 1} ight)Leftrightarrow {x^2} > frac{9}{8}Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x > frac{3}{{2sqrt 2 }}x < - frac{3}{{2sqrt 2 }}end{array} ight.end{array}).
Kết hợp điều kiện ta có: (x in left( { - sqrt 2 ; - frac{3}{{2sqrt 2 }}} ight) cup left( {frac{3}{{2sqrt 2 }};sqrt 2 } ight))
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S = left( { - sqrt 2 ; - frac{3}{{2sqrt 2 }}} ight) cup left( {frac{3}{{2sqrt 2 }};sqrt 2 } ight)).
d) ({log _{0,2}}^2x - 5{log _{0,2}}x < - 6)
ĐK: (x>0).
Đặt (t{ m{ }} = { m{ }}lo{g_{0,2}}x). Bất phương trình trở thành
({t^2}-{ m{ }}5t{ m{ }} + { m{ }}6{ m{ }} < { m{ }}0{ m{ }} Leftrightarrow { m{ }}2{ m{ }} < { m{ }}t{ m{ }} < { m{ }}3)
Suy ra:
(eqalign{
& (1) ⇔2 < {log _{0,2}}x < 3 Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} cr
& Leftrightarrow {1 over {125}} < x < {1 over {25}}(tm ,, x>0) cr} )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (S=left({1 over {125}},{1 over {25}} ight))
zaidap.com
