Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số  (f(x) = {1 over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 over 2.})

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị ((C)) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình (f’’(x) = 0.)

c) Biện luận theo tham số (m) số nghiệm của phương trình: (x^4- 6x^2+ 3 = m.)

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số y = (f(x) = {1 over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 over 2})  ((C))

Tập xác định: (D =mathbb R)

* Sự biến thiên:

Ta có: (y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3))

( Rightarrow y’ = 0  Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x = 0{x^2} = 3end{array} ight. Leftrightarrow left[ egin{array}{l}x = 0x = pm sqrt 3 end{array} ight..)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;-sqrt3)) và ((0;sqrt3)), đồng biến trên khoảng ((-sqrt 3;0)) và ((sqrt3;+infty)).

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}={3over 2})

    Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-sqrt3) và (x=sqrt3); (y_{CT}=y_(pmsqrt3)=-3)

- Giới hạn:

   (mathop {lim y}limits_{x o  pm infty }  =  + infty )

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

b) Ta có: (y’’ = 6x^2– 6)

( Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 ⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.)

Có (y’(-1) = 4; , ,  y’(1) = -4; , ,  y(± 1) = -1)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((-1, -1)) là : (y = 4(x+1) – 1= 4x+3.)

Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((1, -1)) là: (y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.)

c) Ta có: ({x^4} - 6{x^2} + 3 = m Leftrightarrow {1 over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 over 2} = {m over 2}) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d) : (y = {m over 2})

Từ đồ thị ta thấy:

(frac{m}{2}

(frac{m}{2}=-3 Leftrightarrow m = -6) : (1) có 2 nghiệm.

(-3 < frac{m}{2}<frac{3}{2} Leftrightarrow-6 < m < 3): (1) có 4 nghiệm.

(frac{m}{2} = frac{3}{2} Leftrightarrow m = 3): ( 1) có 3 nghiệm.

(frac{m}{2}> frac{3}{2} Leftrightarrow m > 3): (1) có 2 nghiệm.

zaidap.com