Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Bài 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (sin x < x) với mọi (x > 0,sin x > x) với mọi (x < 0)

b) (cos x > 1 – {{{x^2}} over 2}) với mọi (x e 0)

c) (sin x > x – {{{x^3}} over 6}) với mọi (x > 0); (sin x < x – {{{x^3}} over 6}) với mọi (x<0).

Giải

a) Hàm số (fleft( x ight) = x – sin x) liên tục trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm (f’left( x ight) = 1 – cos x > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)). Do đó hàm số đồng biến trên (left[ {0;{pi  over 2}} ight)), từ đó với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)) ta có:

(fleft( x ight) > fleft( 0 ight) = 0 Rightarrow x – sin x > 0,,forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight)). Với (x ge {pi  over 2}) thì (x > 1 ge sin x).

Vậy (sin x < x) với mọi (x > 0)

* Với mọi (x<0), áp dụng chứng minh trên ta có:

(sin left( { – x} ight) <  – x Rightarrow  – sin x <  – x Rightarrow sin x > x)

Vậy (sin x > x) với mọi (x<0).

b) Hàm số (gleft( x ight) = cos x + {{{x^2}} over {2 – 1}}) liên tục trên (left[ {0; + infty } ight)) và có đạo hàm (g’left( x ight) = x – sin x)

Theo câu a) (g’left( x ight) > 0) với mọi (x>0) nên hàm số g đồng biến trên (left[ {0; + infty } ight)), khi đó ta có

(gleft( x ight) > gleft( 0 ight) = 0) với mọi (x>0), tức là (cos x + {{{x^2}} over 2} – 1 > 0) với mọi (x>0)

hay (cos x > 1 – {{{x^2}} over 2}) với mọi (x>0) (1)

Với mọi x0 nên theo (1) ta có:

(cos left( { – x} ight) > 1 – {{{{left( { – x} ight)}^2}} over 2}, Leftrightarrow cos x > 1 – ,{{{x^2}} over 2}) với mọi (x)

Từ (1) và (2) suy ra: (cos x > 1 – ,{{{x^2}} over 2}) với mọi (x e 0).

c) Hàm số (hleft( x ight) = sin x – x + {{{x^3}} over 6}) có đạo hàm (h'(x) = cos x – 1 + {{{x^2}} over 2} > 0) với mọi (x e 0) (câu b)

Do đó (h) đồng biến trên (mathbb R) nên ta có:

(hleft( x ight) > hleft( 0 ight) = 0,forall x > 0) và (hleft( x ight) < hleft( 0 ight) = 0,forall x < 0)

Từ đó suy ra: (sin x > x – {{{x^3}} over 6}) với mọi (x>0)

(sin x < x – {{{x^3}} over 6})với mọi (x<0)