Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Hướng dẫn: Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng...

Bài 9. Chứng minh rằng: (sin x + an x > 2x) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)).

Giải 

Chứng minh hàm số (fleft( x ight) = sin x + an x – 2x) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)).

Hàm số (fleft( x ight) = sin x + an x – 2x) liên tục trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm: (f’left( x ight) = cos x + {1 over {{{cos }^2}x}}, – 2)

Vì (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)) nên (0 < cos x < 1 Rightarrow cos x > {cos ^2}x)

( Rightarrow cos x + {1 over {{{cos }^2}x}}, – 2 > {cos ^2}x + {1 over {{{cos }^2}x}}, – 2 > 0)

( vì ({cos ^2}x + {1 over {{{cos }^2}x}} > 2) với mọi (,x in left( {0;{pi  over 2}} ight)))

Do đó (f’left( x ight) > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Suy ra hàm số (f) đồng biến trên (,left[ {0;{pi  over 2}} ight))

Khi đó ta có (fleft( x ight) > fleft( 0 ight) = 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)) tức là (sin x + an x > 2x) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)).