Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = xsqrt {4 – {x^2}} )              b) (y = sqrt {8 – {x^2}} )

c) (y = x – sin 2x + 2)      d) (y = 3 – 2cos x – cos 2x)

Giải

a) Tập xác định: (D = left[ { – 2;2} ight])

(y’ = sqrt {4 – {x^2}}  + x.{{ – x} over {sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – {x^2} – {x^2}} over {sqrt {4 – {x^2}} }} = {{4 – 2{x^2}} over {sqrt {4 – {x^2}} }})

(y’ = 0 Leftrightarrow 4 – 2{x^2} = 0 Leftrightarrow x =  pm sqrt 2 )

(yleft( { – sqrt 2 } ight) =  – 2;yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  – sqrt 2 ); giá trị cực tiểu (yleft( { – sqrt 2 } ight) =  – 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = sqrt 2 ); giá trị cực đại (yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

b) TXĐ: (D = left[ { – 2sqrt 2 ;2sqrt 2 } ight])

(y’ = {{ – x} over {sqrt {8 – {x^2}} }};,y’ = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: (D=mathbb R)

(,y’ = 1 – 2cos 2x;y’ = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi  over 3} Leftrightarrow x =  pm {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb {Z}})

(y” = 4sin 2x)

* Ta có: (y”left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( { – {pi  over 3}} ight) =  – 2sqrt 3  < 0)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x =  – {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại

(yleft( { – {pi  over 6} + kpi } ight) =  – {pi  over 6} + kpi  + {{sqrt 3 } over 2} + 2)

 (y”left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( {{pi  over 3}} ight) = 2sqrt 3  > 0).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x = {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực tiểu:

(yleft( {{pi  over 6} + kpi } ight) = {pi  over 6} + kpi  – {{sqrt 3 } over 2} + 2)

d) Áp dụng quy tắc 2.

(,y’ = 2sin x + 2sin 2x = 2sin xleft( {1 + 2cos x} ight);)

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr
cos x = – {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = pm {{2pi } over 3} + 2kpi ,k in {mathbb{Z}} hfill cr} ight.)

(y” = 2cos x + 4cos 2x.)
 (y”left( {kpi } ight) = 2cos kpi  + 4cos 2kpi  = 2cos kpi  + 4 > 0) với mọi (k in {mathbb{Z}})

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm (x = kpi ), giá trị cực tiểu:

(yleft( {kpi } ight) = 3 – 2cos kpi  – cos 2kpi  = 2 – 2cos kpi )

 (y”left( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 2cos {{2pi } over 3} + 4cos {{4pi } over 3} = 6cos {{2pi } over 3} =  – 3 < 0.)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm (x =  pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại:

(yleft( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 3 – 2cos {{2pi } over 3} – cos {{4pi } over 3} = {9 over 2}).