Bài 11 trang 16 và 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {1 over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1);

b) (fleft( x ight) = {1 over 3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10)

c) (fleft( x ight) = x + {1 over x});

d) (fleft( x ight) = left| x ight|left( {x + 2} ight);)

e) (fleft( x ight) = {{{x^5}} over 5} – {{{x^3}} over 3} + 2);

f) (fleft( x ight) = {{{x^2} – 3x + 3} over {x – 1}})

Giải

a) TXĐ: (D=mathbb R)

(f’left( x ight) = {x^2} + 4x + 3;,f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = – 3 hfill cr} ight.;fleft( { – 1} ight) = – {7 over 3};,fleft( { – 3} ight) = – 1)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x =  – 3), giá trị cực đại của hàm số là (fleft( { – 3} ight) =  – 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  – 1), giá trị cực tiểu của hàm số là (fleft( { – 1} ight) =  – {7 over 3})

b) TXĐ: (D=mathbb R)

(f’left( x ight) = {x^2} – 2x + 2 > 0) với mọi (x inmathbb R) (vì (a > 0,Delta ‘ < 0))

Hàm số đồng biến trên (mathbb R) , không có cực trị.
c) TXĐ: (D = mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(f’left( x ight) = 1 – {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 1} over {{x^2}}};f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,,,;fleft( 1 ight) = 2 hfill cr
x = – 1;fleft( { – 1} ight) = – 2 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} ight) =  – 2). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 ight) = 2).

d) TXĐ: (D=mathbb R) Hàm số liên tục trên (mathbb R)

(fleft( x ight) = left{ matrix{
xleft( {x + 2} ight),,,,,,,x ge 0 hfill cr
– xleft( {x + 2} ight),,,,,x < 0, hfill cr} ight.)

Với (x > 0:,f’left( x ight) = 2x + 2 > 0) với mọi (x>0)

Với (x < 0:,f’left( x ight) =  – 2x – 2,;,,f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x =  – 1)

(fleft( { – 1} ight) = 1)

Hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} ight) = 1). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0), giá trị cực tiểu (fleft( 0 ight) = 0)

e) TXĐ: (D=mathbb R)

(f’left( x ight) = {x^4} – {x^2} = {x^2}left( {{x^2} – 1} ight))

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 ight) = 2 hfill cr
x = – 1;fleft( { – 1} ight) = {{32} over {15}} hfill cr
x = 1;fleft( 1 ight) = {{28} over {15}} hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=-1), giá trị cực đại (fleft( { – 1} ight) = {{32} over {15}})

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1), giá trị cực tiểu (fleft( 1 ight) = {{28} over {15}})

f) TXĐ: (D = {f{R}}ackslash left{ 1 ight})

(y’left( x ight) = {{left( {2x – 3} ight)left( {x – 1} ight) – left( {{x^2} – 3x + 3} ight)} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{{x^2} – 2x} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}})

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;fleft( 0 ight) = – 3 hfill cr
x = 2;fleft( 2 ight) = 1 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (fleft( 0 ight) =  – 3)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=2), giá trị cực tiểu (fleft( 2 ight) = 1)