Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:...

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: (fleft( x ight) = {sin ^4}x + {cos ^4}x)

Giải

TXĐ: (D=mathbb R)

(eqalign{
& fleft( x ight) = {left( {{{sin }^2}x} ight)^2} + {left( {{{cos }^2}x} ight)^2} + 2{sin ^2}x{cos ^2}x – 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr
& ,,,,,,,,,,, = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} ight)^2} – 2{sin ^2}x{cos ^2}x = 1 – {1 over 2}{sin ^2}2x cr} )

Vì (0 le {sin ^2}2x le 1) nên: (,,fleft( x ight) le 1) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( 0 ight) = 1). Vậy (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb {R}}}  = 1)

(*,,,fleft( x ight) ge {1 over 2}) với mọi (x in {mathbb{R}},fleft( {{pi  over 4}} ight) = 1 – {1 over 2} = {1 over 2})

Vậy (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb {R}}}  = {1 over 2}).