Bài 8 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC có

Cho hình chóp S.ABC có (SA ot mp(ABC),AB = c,AC = b) , (widehat {BAC} = alpha ). Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng mình rằng các điểm A, B, C, B₁,C₁ cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c,(alpha ).

Giải

Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó (CD ot AC,) mặt khác (CD ot SA), từ đó (CD ot mp(SAC)), vậy (CD ot A{C_1}).

Theo giả thiết (A{C_1} ot SC) nên (A{C_1} ot {C_1}D.)

Tương tự như trên, ta cũng có (widehat {ABD} = {90^0},widehat {A{B_1}D} = {90^0}.)

Vậy AD là đường kính của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, B₁, C₁.

Bán kính R của mặt cầu đó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, do đó ({{BC} over {sin A}} = 2R,) mặt khác

(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{mathop{ m cosA} olimits} ) hay (BC = sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cosalpha } ,)

Vậy (R = {{sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc.cosalpha } ,} over {2sin alpha }})

Chú ý. Có thể chứng minh các điểm A, B, C, B₁, C₁ cùng thuộc một mặt cầu như sau :

Xét các tam giác vuông SAB, SAC, ta có (S{A^2} = SB.S{B_1},S{A^2} = SC.S{C_1},)từ đó (SB.S{B_1} = SC.S{C_1},) suy ra  B, C, B₁, C₁ cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, hình chóp A.BCC₁B₁có đáy BCC₁B₁ có đường tròn ngoại tiếp nên hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp, tức là các điểm A, B, C, B₁, C₁cùng thuộc một mặt cầu.

Sachbaitap.com