Câu 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (left( {{pi  over 4};{{5pi } over 4}} ight)) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

           (cos x + sin x + {1 over {sin x}} + {1 over {cos x}} = {{10} over 3})

Giải

Ta có:      (cos x + sin x + {1 over {sin x}} + {1 over {cos x}} = {{10} over 3})

               ( Leftrightarrow cos x + sin x + {{sin x + cos x} over {sin xcos x}} = {{10} over 3})

Đặt (t = cos x + sin x)  với (left| t ight| le sqrt 2 .) Khi đó (sin xcos x = {{{t^2} - 1} over 2}) và phương trình trở thành

                (t + {{2t} over {{t^2} - 1}} = {{10} over 3},,,,,,,,,,,,,,(1))

Với điều kiện (t e  pm 1,) ta có:

((1) Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0)

(Leftrightarrow left( {t - 2} ight)left( {3{t^2} - 4t - 5} ight) = 0)

Phương trình này có ba nghiệm ({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + sqrt {19} } over 3}) và ({t_3} = {{2 - sqrt {19} } over 3}.)

Tuy nhiên, chỉ có ({t_3} = {{2 - sqrt {19} } over 3}) là thỏa mãn điều kiện (left| t ight| le sqrt 2 .) Do đó phương trình đa cho tương đương với (cos x + sin x = {{2 - sqrt {19} } over 3}) hay

              (cos left( {x - {pi  over 4}} ight) = {{2 - sqrt {19} } over {3sqrt 2 }},,,,,,,,,(2))

Điều kiện  ({pi  over 4} < x < {{5pi } over 4}) tương đương với điều kiện (0 < x   - {pi  over 4} < pi .) Với điều kiện đó ta có

((2) Leftrightarrow x - {pi  over 4} = arccos {{2 - sqrt {19} } over {3sqrt 2 }})

       (Leftrightarrow x = {pi  over 4} + arccos {{2 - sqrt {19} } over {3sqrt 2 }})

Lấy các giá trị gần đúng ({pi  over 4} approx 0,785) và (arccos {{2 - sqrt {19} } over {3sqrt 2 }} approx 2,160) ta được (x approx 2,95.)

zaidap.com