Câu 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải phương trình

Giải phương trình (left( {2sin x - 1} ight)left( {2sin 2x + 1} ight) = 3 - 4{cos ^2}x)

Giải

(eqalign{
& left( {2sin x - 1} ight)left( {2sin 2x + 1} ight) = 3 - 4{cos ^2}x,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) cr
& Leftrightarrow 4sin xsin 2x + 2sin x - 2sin 2x - 1 cr&;;;;;= 3 - 4{cos ^2}x cr
& Leftrightarrow 4{sin ^2}xcos x + sin x - 2sin xcos x + 2{cos ^2}x - 2 cr&;;;;;= 0 cr
& Leftrightarrow 4{sin ^2}xcos x + sin x - 2sin xcos x - 2{sin ^2}x = 0 cr
& Leftrightarrow sin xleft[ {4sin xcos x + 1 - 2left( {sin x + cos x} ight)} ight] = 0 cr
& ullet ,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi cr
& ullet ,,4sin xcos x + 1 - 2left( {sin x + cos x} ight) = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2) cr} )

Để giải phương trình (2), ta đặt (t = sin x + cos x) với (left| t ight| le sqrt 2 .) Khi đó (2sin xcos x = {t^2} - 1) và từ phương trình (2) ta có phương trình (2{t^2} - 2t - 1 = 0) với ẩn t. Phương trình này có hai nghiệm ({t_1} = {{1 - sqrt 3 } over 2},{t_1} = {{1 + sqrt 3 } over 2}.) Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện (left| t ight| le sqrt 2 .)

Do đó 

((2) Leftrightarrow left[ matrix{
sin x + cos x = {t_1} hfill cr
sin x + cos x = {t_2} hfill cr} ight.)

(sin x + cos x = {t_1} Leftrightarrow cos left( {x - {pi  over 4}} ight) = {{1 - sqrt 3 } over {2sqrt 2 }} )

(Leftrightarrow x = {pi  over 4} pm alpha  + k2pi ) với (cos alpha  = {{1 - sqrt 3 } over {2sqrt 2 }}.)

(sin x + cos x = {t_1} Leftrightarrow cos left( {x - {pi  over 4}} ight) = {{1 + sqrt 3 } over {2sqrt 2 }} )

(Leftrightarrow x = {pi  over 4} pm eta  + k2pi ) với (cos eta  = {{1 + sqrt 3 } over {2sqrt 2 }}.)

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm (x = kpi ,x={pi  over 4} pm alpha  + 2kpi ) và (x={pi  over 4} pm eta  + 2kpi ) với (alpha ) và (eta ) là các số thỏa mãn  (cos alpha  = {{1 - sqrt 3 } over {2sqrt 2 }}) và (cos eta  = {{1 + sqrt 3 } over {2sqrt 2 }}) (chẳng hạn (alpha  = arccos {{1 - sqrt 3 } over {2sqrt 2 }},eta  = arccos {{1 + sqrt 3 } over {2sqrt 2 }})).

zaidap.com