Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1. b) Chứng minh rằng với ...

Bài 77. Cho hàm số: (y = {{x – 4m} over {2left( {mx – 1} ight)}}.,,,left( {{H_m}} ight))
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.
b) Chứng minh rằng với mọi (m e  pm {1 over 2}), các đường cong (left( {{H_m}} ight)) đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Giải

a) m=1 hàm số có dạng: (y = {{x – 4} over {2x – 2}})

Tập xác định: (D = Rackslash left{ 1 ight})

(y’ = {6 over {{{left( {2x – 2} ight)}^2}}} > 0,,forall x in D)

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { – infty ;1} ight)) và (left( {1; + infty } ight))

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x o {1^ – }}  =  + infty ;mathop {lim y}limits_{x o {1^ + }}  =  – infty )

Đường tiệm cận đứng: (x=1)

(mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = {1 over 2})

Đường tiệm cận ngang (y={1 over 2})

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

b) Gọi (Mleft( {{x_o};{y_o}} ight)) là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ. Đường cong (left( {{H_m}} ight)) đi qua điểm M khi và chỉ khi m là nghiệm của phương trình ({{{x_o} – 4m} over {2left( {m{x_o} – 1} ight)}} = {y_o})

( Leftrightarrow left{ matrix{
m{x_o} – 1 e 0 hfill cr
2{y_o}left( {m{x_o} – 1} ight) = {x_o} – 4m hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
m{x_o} e 1,,,,,,left( 1 ight) hfill cr
left( {2{x_o}{y_o} + 4} ight)m – {x_o} – 2{y_o} = 0,,,left( 2 ight) hfill cr} ight.)

Mọi đường cong (left( {{H_m}} ight)) với (m e  pm {1 over 2}) đều đi qua điểm (Mleft( {{x_o};{y_o}} ight)) khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi (m e  pm {1 over 2}).

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

(left{ matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 hfill cr
{x_o} + 2{y_o} = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_o} = – 2 hfill cr
{y_o} = 1 hfill cr} ight.,,hoac,,left{ matrix{
{x_o} = 2 hfill cr
{y_o} = – 1 hfill cr} ight.)

Vậy (left( {{x_o};{y_o}} ight)) =(-2;1) và (left( {{x_o};{y_o}} ight))=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với ({x_o} =  – 2), ta có (m e  – {1 over 2})

•Với ({x_o} = 2), ta có (m e {1 over 2})

Vậy mọi đường cong (left( {{H_m}} ight)) với (m e  pm {1 over 2}) đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; – 1).
c) Ta có (y’ = {{4{m^2} – 1} over {2{{left( {mx – 1} ight)}^2}}})

Hệ số góc tiếp tuyến với (left( {{H_m}} ight)) tại A(-2; 1) và (B(2; – 1)) là y’(-2);y'(2).
Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

(y’left( { – 2} ight).y’left( 2 ight) = {{4{m^2} – 1} over {2{{left( {-2m – 1} ight)}^2}}}.{{4{m^2} – 1} over {2{{left( {2m – 1} ight)}^2}}} = {1 over 4}) là hằng số.