Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. b) Tìm các giá trị...

Bài 75. Cho hàm số: (y = {x^4} – left( {m + 1} ight){x^2} + m)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Giải

a) Với (m=2) hàm số đã cho có dạng: (y={x^4} – 3{x^2} + 3)

Tập xác định: (D=mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 4{x^3} – 6x cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = {{sqrt 6 } over 2} hfill cr
x = – {{sqrt 6 } over 2} hfill cr} ight. cr} )

Hàm số đồng biến trên khoảng: (left( { – {{sqrt 6 } over 2};0} ight)) và (left( {{{sqrt 6 } over 2}; + infty } ight))

Hàm số nghịch biến trên khoảng: (left( { – infty ; – {{sqrt 6 } over 2}} ight)) và (left( {0;{{sqrt 6 } over 2}} ight))

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=0;,,y(0)=2)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x = {{sqrt 6 } over 2}) và (x =  – {{sqrt 6 } over 2}), (yleft( { pm {{sqrt 6 } over 2}} ight) =  – {1 over 4})

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y =  + infty )

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thi cắt tung độ tại điểm ((0;2))

Đồ thị cắt hoành độ tại 4 điểm: (left( { – sqrt 2 ;0} ight),left( { – 1;0} ight)left( {1;0} ight),left( {sqrt 2 ;0} ight))

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình 

({x^4} – left( {m + 1} ight){x^2} + m = 0,,,left( 1 ight),,, Leftrightarrow left[ matrix{
{x^2} = 1 hfill cr
{x^2} = m hfill cr} ight.)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và (m e 1)

Khi đó (1) có 4 nghiệm: (x =  – 1;,x = 1;,x =  – sqrt m ;,x = sqrt m )

* ( – sqrt m  <  – 1 < 1 < sqrt m )

(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi (sqrt m  – 1 = 1 – left( { – 1} ight) = 2 Leftrightarrow m = 9)

* ( – 1 <  – sqrt m  < sqrt m  < 1)

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi (1 – sqrt m  = sqrt m  – left( { – sqrt m } ight) = 2sqrt m )

Vậy m= 9 hoặc (m = {1 over 9})