Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Viết phương trình tiếp...

Bài 74. Cho hàm số: (fleft( x ight) = {x^3} – 3x + 1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

c) Gọi (left( {{d_m}} ight)) là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Giải

a) Tập xác định (D=mathbb R)

(f’left( x ight) = 3{x^2} – 3)

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 1 hfill cr} ight.)

 Hàm số đồng biến trên khoảng: (left( { – infty ; – 1} ight)) và ( left( {1; + infty } ight))

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-1;1))

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại (x=-1;y(-1)=3)

 Hàm số đạt cực tiểu tại (x=1; y(1)=-1)

+) Giới hạn:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } f(x) = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x o – infty } f(x) = – infty cr} )

 Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đồ thị giao trục (Oy) tại điểm ((0;1))

Hàm số đồ thị nhận (I(0;1))  làm tâm đối xứng

b) (f’left( x ight) = 3{x^2} – 3)

(f”left( x ight)6x;,f”left( x ight) = 0 Leftrightarrow x = 0)

(fleft( 0 ight) = 0). Điểm uốn I(0;1)

Phương tiếp tuyến của (C) tại I là:

(y – 1 = f’left( 0 ight)left( {x – 0} ight) Leftrightarrow y =  – 3x + 1)

c) Phương trình đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) là y = mx +1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) và đường cong (C) là nghiệm của phương trình

({x^3} – 3x + 1 = mx + 1 Leftrightarrow {x^3} – left( {m + 3} ight)x = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
{x^2} = m + 3 hfill cr} ight.)

(left( {{d_m}} ight)) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt, tức (m + 3 > 0 Leftrightarrow m >  – 3)