Bài 58 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: b) Với các giá nào của m, đường thẳng đi ...

Bài 58

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: (y = {{2x – 1} over {x + 1}})
b) Với các giá nào của (m), đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) đi qua điểm (A(-2;2)) và có hệ số góc (m) cắt đồ thị của hàm số đã cho:
• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Giải

a) Tập xác đinh: (D = Rackslash left{ { – 1} ight})

(y’ = {3 over {{{(x + 1)}^2}}}>0,,forall xin D)

Hàm số đồng biến trên khoảng (( – infty ; – 1)) và (( – 1; + infty ))

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

(mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 2) 

Tiệm cận đứng (y=2)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = – infty cr} )

Tiệm cận đứng: (x=-1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại điểm (left( {{1 over 2};0} ight))

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

b) Phương trình đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) qua điểm (A(-2;2)) có hệ số góc (m) là:

(y – 2 = mleft( {x + 2} ight),,,,hay,,,,y = mx + 2m + 2)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

(eqalign{
& ,,,,,mx + 2m + 2 = {{2x – 1} over {x + 1}} cr
& Leftrightarrow left( {mx + 2m + 2} ight)left( {x + 1} ight) = 2x – 1,,,,,left( 1 ight) cr
& Leftrightarrow fleft( x ight) = m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0,,,left( 2 ight) cr} )

(vì (x = -1) không là nghiệm của (1))

• Đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ((2)) có hai nghiệm phân biệt, tức là

(left{ matrix{
m e 0 hfill cr
Delta = {m^2} – 12m > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m < 0,, ext{ hoặc },m > 12,,,left( * ight))

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng (x = -1) của đồ thị.
Đường thẳng (left( {{d_m}} ight)) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm ({x_1},,{x_2}) thỏa mãn ({x_1} <  – 1 < {x_2})

(eqalign{
& Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left( {{x_1} + 1} ight)left( {{x_2} + 1} ight) < 0 cr
& Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 Leftrightarrow {{2m + 3} over m} – {{3m} over m} + 1 < 0 cr
& Leftrightarrow {3 over m} < 0, ext{(thỏa mãn diều kiện (*))} cr} )

Vậy với (m < 0) thì (left( {{d_m}} ight)) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.