Bài 64 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số a)Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm và tiếp tuyến của...

Bài 64.Cho hàm số (y = {{a{x^2} – bx} over {x – 1}})

a) Tìm (a) và (b) biết rằng đồ thị ((C)) của hàm số đã cho đi qua điểm (Aleft( { – 1;{5 over 2}} ight)) và tiếp tuyến của ((C)) tại điểm (O(0;0)) có hệ số bằng (-3).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của (a) và (b) đã tìm được.

Giải

a) Ta có: ({M_o} in left( C ight)) (y’ = {{left( {12ax – b} ight)left( {x – 1} ight) – left( {a{x^2} – bx} ight)} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}})

Đồ thị ((C)) đi qua (Aleft( { – 1;{5 over 2}} ight)) ( Leftrightarrow yleft( { – 1} ight) = {5 over 2} Leftrightarrow {{a + b} over { – 2}} = {5 over 2} Leftrightarrow a + b =  – 5,,,left( 1 ight))

Tiếp tuyến của ((C)) tại (O(0;0)) có hệ số góc bằng (-3) khi và chỉ khi (y’(0) = -3 )( Leftrightarrow b =  – 3,,left( 2 ight))

Từ (1) và (2) suy ra (a = -2; b = – 3).

b) Với (a = -2; b = – 3) ta có: (y = {{ – 2{x^3} + 3x} over {x – 1}})

Tập xác định: (D = mathbb Rackslash left{ 1 ight})

(y’ = {{ – 2{x^2} + 4x – 3} over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,forall x in D)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: (( – infty ;1)) và ((1; + infty ))

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x o  {1^ – }}  =  – infty ;,mathop {lim y}limits_{x o   {1^ + }}  =  + infty )

Tiệm cận đứng là: (x=1)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o infty } {{ – 2{x^2} + 3x} over {{x^2} – x}} = – 2 cr
& b = mathop {lim }limits_{x o infty } (y + 2x) = mathop {lim }limits_{x o infty } left( {{{ – 2{x^2} + 3x} over {x – 1}} + 2x} ight) = 1 cr} )

Tiệm cận xiên là: (y=-2x+1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;0)) và (left( {{3 over 2};0} ight))