Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao, Chứng minh các bất đẳng thức sau:...

Bài 68. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ( an x > x,,forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight));

b) ( an x > x + {{{x^3}} over 3},,forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Hướng dẫn: a) Chứng minh rằng hàm số: (fleft( x ight) = an x – x) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

Giải

a) Hàm số (fleft( x ight) = an x – x) liên tục trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm (f’left( x ight) = {1 over {{{cos }^2}x}} – 1 > 0,,forall xleft( {0;{pi  over 2}} ight))

Do đó hàm số (f) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) 

Từ đó: (fleft( x ight) > fleft( 0 ight)forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight) Leftrightarrow an x – x > 0forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

b) Hàm số (fleft( x ight) = an x – x – {{{x^3}} over 3}) liên tục trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm (f’left( x ight) = {1 over {{{cos }^2}x}} – 1 = { an ^2}x – {x^2} > 0,,forall xleft( {0;{pi  over 2}} ight)) (suy ra từ a)).

Do đó hàm số (f) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và khi đó 

(fleft( x ight) = fleft( 0 ight) = 0,,forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight) Rightarrow an x > x + {{{x^3}} over 3},,forall x in left( {0;{pi  over 2}} ight))