Bài 63 trang 57 SGK giải tích 12 nâng cao, a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi ...

Bài 63

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((H)) của hàm số: (y = {{x + 2} over {2x + 1}})

b) Chứng minh rằng đường thẳng (y = mx + m – 1) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong ((H)) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb Rackslash left{ { – {1 over 2}} ight})

+) Sự biến thiên:

(y’ = {{ – 3} over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0,forall x in D)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ; – {1 over 2}} ight)) và (left( { – {1 over 2}; + infty } ight))

Giới hạn:

(mathop {lim y}limits_{x o  – {{{1 over 2}}^ – }}  =  – infty ;,mathop {lim y}limits_{x o  – {{{1 over 2}}^ + }}  =  + infty )

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: (x={ – {1 over 2}})

(mathop {lim y}limits_{x o  pm infty }  = {1 over 2})

Tiệm cận ngang (y={1 over 2})

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao (Ox) tại điểm ((-2;0))

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2)) 

b) Ta có (y = mx + m – 1 Leftrightarrow y + 1 = mleft( {x + 1} ight))

Tọa độ điểm cố định (A) của đường thẳng là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x + 1 = 0 hfill cr
y + 1 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 1 hfill cr
y = – 1 hfill cr} ight.)

Vậy (A(-1;1))

Tọa độ (A) thỏa mãn phương trình (y = {{x + 2} over {2x + 1}}) nên (A) thuộc đường cong ((H)).

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong ((H)) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& ,,,mleft( {x + 1} ight) – 1 = {{x + 2} over {2x + 1}} Leftrightarrow left( {2x + 1} ight)left[ {mleft( {x + 1} ight) – 1} ight] = x + 2 cr
& Leftrightarrow mleft( {x + 1} ight)left( {2x + 1} ight) – left( {2x + 1} ight) = x + 2 cr
& Leftrightarrow left( {x + 1} ight)left( {2mx + m – 3} ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
fleft( x ight) = 2mx + m – 3 = 0,,,left( 1 ight) hfill cr} ight. cr} )

Hai nhánh của ((H)) nằm về hai bên của tiệm cận đứng (x =  – {1 over 2})

Điểm (A(-1;1)) thuộc nhánh trái của ((H)) vì ({x_A} =  – 1 <  – {1 over 2})

Đường thẳng cắt ((H)) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm (x <  – {1 over 2}) và (x e  – 1) tức

(left{ matrix{
x e 0 hfill cr
x = {{ – m + 3} over 2} < – {1 over 2} hfill cr
fleft( { – 1} ight) e 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
m e 0 hfill cr
{3 over {2m}} < 0 hfill cr
– m – 3 e 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m < – 3,, ext{hoặc}, – 3 < m < 0.)