Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao , Cho hàm số: a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị. b) Kháo sát sự biến thiên và...

Bài 48. Cho hàm số: (y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m)
a) Tìm các giá trị của (m) sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với (m = {1 over 2}). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb R)

(y = 4{x^3} – 4mx = 4xleft( {{x^2} – m} ight);,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
{x^2} = m hfill cr} ight.)

Nếu (m> 0) thì (y’=0) ( Leftrightarrow x = 0) hoặc (x =  – sqrt m ) hoặc (x = sqrt m )

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu (m le 0) thì ({x^2} – m ge 0) với mọi (x inmathbb R)

Hàm số có (1) cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi (m>0).
b) Với (m = {1 over 2}) ta có (y = {x^4} – {x^2} + 1)
TXĐ: (D =mathbb R)

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o pm infty } y = + infty cr
& y’ = 4{x^3} – 2x = 2xleft( {2{x^2} – 1} ight);,y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,,,,yleft( 0 ight) = 1 hfill cr
x = pm sqrt {{1 over 2}} ;,,yleft( { pm sqrt {{1 over 2}} } ight) = {3 over 4} hfill cr} ight. cr} )

(y” = 12{x^2} – 2;,y” = 0 Leftrightarrow x =  pm {{sqrt 6 } over 6};,,yleft( { pm {{sqrt 6 } over 6}} ight) = {{31} over {36}})

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: ({I_1}left( { – {{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} ight)) và ({I_2}left( {{{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} ight))
Điểm đặc biệt: (x =  pm 1 Rightarrow y = 1)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Phương trình tiếp tuyến tại  ({I_1}left( { – {{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} ight)) là (y – {{31} over {36}} = y’left( { – {{sqrt 6 } over 6}} ight)left( {x + {{sqrt 6 } over 6}} ight))

( Leftrightarrow y = {4 over {3sqrt 6 }}x + {{13} over {12}})

+ Tương tự phương trình tiếp tuyến tại ({I_2}left( {{{sqrt 6 } over 6};{{31} over {36}}} ight)) là: (y =  – {4 over {3sqrt 6 }}x + {{13} over {12}})