Bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao, Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O,...

Bài 61. Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu ({v_o} > 0) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ (O), nghiêng một góc  (alpha ) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) và tạo với trục hoành (Ox) góc (alpha ) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

(left( {{gamma _alpha }} ight):y =  – {g over {2v_o^2}}left( {1 + {{ an }^2}alpha } ight){x^2} + x an alpha ) ( (g) là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi (alpha  in left( {0;{pi  over 2}} ight),,left( {{gamma _alpha }} ight)) luôn tiếp xúc với parabol ((P)) có phương trình là: (y =  – {g over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} over {2g}}) và tìm tọa độ tiếp điểm ((P)) được gọi là parabol an toàn).

Giải

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
– {g over {2v_o^2}}left( {1 + {{ an }^2}alpha } ight){x^2} + x an alpha = – {g over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} over {2g}} hfill cr
– {g over {v_o^2}}left( {1 + {{ an }^2}alpha } ight)x + an alpha = – {g over {v_o^2}}x hfill cr} ight.)

Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là (x = {{v_o^2} over {g an alpha }})

Ta có (x = {{v_o^2} over {g an alpha }}) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi (alpha  in left( {0;{pi  over 2}} ight)) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là (x = {{v_o^2} over {g an alpha }}). Tung độ của tiếp điểm là

(y =  – {g over {2v_o^2}}{left( {{{v_o^2} over {g an alpha }}} ight)^2} + {{v_o^2} over {2g}} = {{v_o^2} over {2g}}left( {1 – {1 over {{{ an }^2}alpha }}} ight))

Điểm (left( {{{v_o^2} over {g an alpha }};{{v_o^2} over {2g}}left( {1 – {{cot }^2}alpha } ight)} ight)) là tiếp điểm của hai parabol với mọi (alpha  in left( {0;{pi  over 2}} ight))