Bài 64 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao, Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b ...

Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c.Ta lấy một điểm M trên cạnh BC. Quy M, ta kẻ các đường thẳng ME và MF thứ tự song song với các cạnh AC và AB (E ∈ AB, F ∈ AC). Hỏi phải lấy điểm M cách B bao nhiêu để tổng ME + MF = l(l là độ dài cho trước)? Biện luận theo l, a, b và c

Giải

Đặc x = MB (điều kiện: 0 < x < a)

Theo định lý Ta – lét, ta có:

(eqalign{
& {{ME} over x} = {b over a} Rightarrow ME = {{bx} over a} cr
& {{MF} over c} = {{a – x} over a} Rightarrow MF = {{c(a – x)} over a} cr} ) 

Điều kiện (ME + MF = l) cho ta phương trình:

(l = {{bx} over a} + {{c(a – x)} over a} Leftrightarrow (b – c)x = a(l – c),,(1)) 

+ Nếu b = c (tức là tam giác ABC cân tại A) thì phương trình (1) vô nghiệm nếu (l ≠ c); nghiệm đúng với mọi x nếu (l = c). Điều này có nghĩa là:

  _ Khi tam giác ABC cân tại A và (l ≠ AB) thì không có điểm M nào trên cạnh BC thỏa mãn điều kiện của tam giác.

– Khi tam giác ABC cân tại A và (l = AB) thì mọi điểm M nằm trên cạnh BC đều thỏa mãn điều kiện của tam giác.

+ Nếu b ≠ c (tức là tam giác ABC không cân ở A), thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất (x = {{a(l – c)} over {b – c}}) .

Xét điều kiện 0 < x < a:

(0 < x < a Leftrightarrow 0 < {{a(l – c)} over {b – c}} < a Leftrightarrow 0 < {{l – c} over {b – c}} < 1,,(2))

Với b ≠ c nên có hai trường hợp:

+ Với b > c, ta có: (2) (⇔ 0 < l – c < b – c ⇔ c < l < b)

+ Với b < c, ta có: (2) (⇔ 0 > l – c > b – c ⇔ c > l > b)

Hai kết quả trên có nghĩa là giá trị (x = {{a(l – c)} over {b – c}}) là nghiệm của bài toán ( điểm M cách B một khoảng bằng ( {{a(l – c)} over {b – c}}) khi và chỉ độ dài (l) nằm giữa các độ dài b và c)