Bài 57 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1....

Cho phương trình ((m – 1)x^2+ 2x – 1 = 0)

a) Giải và biện luận phương trình.

b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.

c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.

Giải

a) Với (m = -1), phương trình có nghiệm là (x = {1 over 2})

Với (m ≠ 1), ta có: (Δ’ = 1 + m – 1 = m)

Với m < 0, S = Ø

Với m = 0; S = {1}

Với m > 0; (S = { m{{ }}{{ – 1 – sqrt m } over {m – 1}};,{{ – 1 + sqrt m } over {m – 1}}{ m{} }})

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: ( Leftrightarrow P < 0 Leftrightarrow  – {1 over {m – 1}} < 0 Leftrightarrow m > 1)

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: (1 ≠ m > 0)

Theo định lý Vi-ét:

(left{ matrix{
{x_1} + {x_2} = – {2 over {m – 1}} hfill cr
{x_1}{x_2} = – {1 over {m – 1}} hfill cr} ight.)

Ta có:

(eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2} = 1 cr
& Leftrightarrow {4 over {{{(m – 1)}^2}}} + {2 over {m – 1}} = 1cr& Leftrightarrow 4 + 2(m – 1) = {(m – 1)^2} cr
& Leftrightarrow {m^2} – 4m – 1 = 0cr& Leftrightarrow left[ matrix{
m = 2 – sqrt 5 ,,,,( ext{loại}) hfill cr
m = 2 + sqrt 5 ,,,,,( ext{thỏa mãn}) hfill cr} ight. cr} )