Bài 59 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao, Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị....

Cho các phương trình:

(x^2+ 3x – m + 1 = 0)  (1) và (2x^2- x + 1 – 2p = 0) (2)

a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.

b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.

Giải

a)

* Xét phương trình ({x^2} + { m{ }}3x{ m{ }}-{ m{ }}m{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0)

Ta có: (1) ( Leftrightarrow { m{ }}{x^2} + { m{ }}3x{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}m{ m{ }})

Gọi (d) là đường thẳng (y = m).

Đồ thị hàm số (y = x^2+ 3x + 1) là parabol (P) có đỉnh là điểm ((-1,5; -1,25)) và hướng bề lõm lên trên.

Do đó:

+ Khi (m < -1, 25) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.

+ Khi (m = -1,25) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.

+ Khi (m > -1,25) thì (d) cắt (P) tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

* Xét phương trình (2x^2- x + 1 – 2p = 0)   (2)

(2) (⇔ 2x^2 – x + 1 = 2p)

Gọi (d) là đường thẳng (y = 2p);  (P) là parabol (y = 2x^2– x + 1 )

Parabol (P) có đỉnh tại điểm: (({1 over 4};,{7 over 8})) và hướng bề lõm lên trên.

Do đó:

+ Nếu (2p < {7 over 8}) , tức là (p < {7 over {16}}) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.

+ Nếu (2p = {7 over 8}) , tức là (p = {7 over {16}}) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.

+ Nếu (2p > {7 over 8}) , tức là (p > {7 over {16}}) thì (d) cắt (P) tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.