Bài 62 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải và biện luận các hệ phương trình...

Giải và biện luận các hệ phương trình

a)

(left{ matrix{
x + y = 4 hfill cr
xy = m hfill cr} ight.)

b) 

(left{ matrix{
3x – 2y = 1 hfill cr
{x^2} + {y^2} = m hfill cr} ight.)

Giải

a) Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của hệ phương trình:

z² – 4z + m = 0  (1)

Ta có:  Δ’ = 4 – m

Do đó:

+ Nếu m > 4 thì Δ’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

+ Nếu m = 4 thì Δ’ = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm kép z = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất ((x, y) = (2, 2))

+ Nếu m < 4 thì Δ’ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (z = 2 pm sqrt {4 – m} ) nên hệ đã cho có hai nghiệm:

(left{ matrix{
x = 2 – sqrt {4 – m} hfill cr
y = 2 + sqrt {4 – m} hfill cr} ight. ext{ và } left{ matrix{
x = 2 + sqrt {4 – m} hfill cr
y = 2 – sqrt {4 – m} hfill cr} ight.) 

b) Ta có:

(left{ matrix{
3x – 2y = 1 hfill cr
{x^2} + {y^2} = m hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2y = 3x – 1 hfill cr
4{x^2} + 4{y^2} = 4m hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
2y = 3x – 1 hfill cr
4{x^2} + {(3x – 1)^2} = 4m hfill cr} ight.) 

Xét riêng phương trình 4x² + (3x – 1)² = 4m ⇔ 13x² – 6x – 4m + 1= 0 (2)

Phương trình (2) có biệt thức thu gọn Δ’ = 4(13m – 1).

Do đó:

+ Nếu (m < {1 over {13}} Rightarrow Delta ‘ < 0) , phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu (m = {1 over {13}} Rightarrow Delta ‘ = 0) , phương trình (2) có một nghiệm (x = {3 over {13}}) nên hệ có nghiệm là

+ Nếu (m > {1 over {13}} Rightarrow Delta ‘ > 0) thì phương trình (2) có hai nghiệm: ({x_{1,2}} = {{3 pm 2sqrt {13m – 1} } over {13}}) , nên hệ có hai nghiệm như sau:

(eqalign{
& ({x_1},{y_1}) = ({{3 – 2sqrt {13m – 1} } over {13}};,{{ – 2 – 3sqrt {13m – 1} } over {13}}) cr
& ({x_2},{y_2}), = ,({{3 + 2sqrt {13m – 1} } over {13}};,{{ – 2 + 3sqrt {13m – 1} } over {13}}) cr} )