Bài 52 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:...

Bài 52. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) (y = {{{x^2} – 3x + 6} over {x – 1}})            b) (y = {{2{x^2} – x + 1} over {1 – x}})
c) (y = {{2{x^2} + 3x – 3} over {x + 2}})          d) (y =  – x + 2 + {1 over {x – 1}})

Giải

a) (y =  x- 2 + {4 over {x – 1}})
TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 1 ight})
(mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y =  + infty ;,mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y =  – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
(mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left[ {y – left( {x – 2} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {4 over {x – 1}} = 0) nên (y = x – 2) là tiệm cận xiên.

(eqalign{
& y’ = 1 – {4 over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{{{left( {x – 1} ight)}^2} – 4} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{left( {x – 3} ight)left( {x + 1} ight)} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1;,,,yleft( { – 1} ight) = -5 hfill cr
x = 3;,,,yleft( 3 ight) = 3 hfill cr} ight. cr} )

Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y =  – 6)

Đồ thị nhận giao điểm (I(1;-1)) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) (y = {{ – 2{x^2} + x – 1} over {x – 1}})  

(y =  – 2x – 1 – {2 over {x – 1}})

TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 1 ight})
Tiệm cận đứng: (x = 1)
Tiệm cận xiên: (y = -2x – 1)

(eqalign{
& y’ = – 2 + {2 over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{ – 2{{left( {x – 1} ight)}^2} + 2} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} = {{ – 2{x^2} + 4x} over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0;,,,,,yleft( 0 ight) = 1 hfill cr
x = 2;,,,,,,yleft( 2 ight) = – 7 hfill cr} ight. cr} )

Điểm đặc biết:

(x =  0 Rightarrow y = 1)

(x =  -1 Rightarrow y = 2)
Đồ thị:

Đồ thị nhận (I(1;-3)) làm tâm đối xứng.
c) (y = 2x – 1 – {1 over {x + 2}})

• TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 2} ight})
• Tiệm cận đứng: (x = 2)
Tiệm cận xiên: (y = 2x -1)
• (y’ = 2 + {1 over {{{left( {x + 2} ight)}^2}}} > 0) với mọi (x e  – 2)

• Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y =  – {3 over 2})

Đồ thị nhận (I(-2; -5)) làm tâm đối xứng.
d) (y =  – x + 2 + {1 over {x – 1}})
• TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 1 ight})
• Tiệm cận đứng: (x = 1)
Tiệm cận xiên (y = -x +2)
• (y’ =  – 1 – {1 over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} < 0) với mọi (x e 1)

• Điểm đặc biệt: (x = 0 Rightarrow y = 1)

Đồ thị nhận điểm (I(1;-1)) làm tâm đối xứng.