Bài 6 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng ({a over 2}.)

1) Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó.

2) Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi S_td là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để ({S_{td}} = pi {R^2}.)

Giải

(h.52)

1) Gọi I là trung điểm của BC thì (HI = {a over 2} = SH.)

Gọi J là trung điểm của SI thì (HJ ot SI,) mặt khác (HJ ot BC), vậy (HJ ot mp(SBC)) đồng thời (HJ = {{SI} over 2} = {1 over 2}.{a over 2}sqrt 2  = {{asqrt 2 } over 4}.)

Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng ({{asqrt 2 } over 4}.)

Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.

2) Gọi H₁ là giao điểm của (P) và SH thì (H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R) và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.) Khi ấy

({{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} over {{S_{ABCD}}}} = {left( {{{{a over 2} - x} over {{a over 2}}}} ight)^2} = {{{{left( {a - 2x} ight)}^2}} over {{a^2}}}.)

Từ đó ({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {(a - 2x)^2}.)

Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi ({r^2} = {R^2} - {x^2}) hay ({r^2} = {{{a^2}} over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} over 8},) từ đó diện tích hình tròn thu được là ({1 over 8}pi left( {{a^2} - 8{x^2}} ight).)Vậy

(eqalign{   {S_{td}} &= {(a - 2x)^2} - {1 over 8}pi ({a^2} - 8{x^2}) cr&= {1 over 8}left[ {8{{(a - 2x)}^2} - pi ({a^2} - 8{x^2})} ight].  cr  &  cr} )

Ta có

(eqalign{  & {S_{td}} = pi {R^2} = {1 over 8}pi {a^2} cr&Leftrightarrow 8{(a - 2x)^2} - pi {a^2} + 8pi {x^2} = pi {a^2}  cr  &  Leftrightarrow 4left[ {{{(a - 2x)}^2} + pi {x^2}} ight] = pi {a^2}  cr  &  Leftrightarrow x = {{4a - pi a} over {8 + 2pi }} cr} )

(vì (0 < x < R = {{asqrt 2 } over 4})).

Sachbaitap.com