Bài 15 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng

(P):x+y+z-7=0.

1. Viết phương trình đường thẳng AB.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

4. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB ((K e B)) sao cho

d(K,(P))=d(B,(P)).

6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Giải

1. Đường thẳng AB đi qua (Aleft( {3{ m{ }};{ m{ }}3{ m{ }};{ m{ }}1} ight),) có vectơ chỉ phương (overrightarrow {AB}  = left( { - 3;{ m{ }} - { m{ }}1;{ m{ }}0} ight)) nên có phương trình :

                         (left{ {matrix{   {x{ m{ }} = { m{ }}3 - 3t} hfill  cr   {y{ m{ }} = { m{ }}3 - t} hfill  cr   {z{ m{ }} = { m{ }}1.} hfill  cr  } } ight.)

2. Ta nhận thấy A ( in ) mp(P) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp(P).

Đường thẳng BH qua (Bleft( {0{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}1} ight)) và vuông góc với mp(P) nên có phương trình

                       (left{ {matrix{   {x{ m{ }} = { m{ }}t} hfill  cr   {y{ m{ }} = { m{ }}2{ m{ }} + { m{ }}t} hfill  cr   {z{ m{ }} = { m{ }}1{ m{ }} + { m{ }}t.} hfill  cr  } } ight.)

Do đó toa độ (left( {x;y;z} ight)) của điểm H thoả mãn hệ: (left{ {matrix{   {x{ m{ }} = { m{ }}t} hfill  cr   {y{ m{ }} = { m{ }}2{ m{ }} + { m{ }}t} hfill  cr   matrix{  z{ m{ }} = { m{ }}1{ m{ }} + { m{ }}t hfill cr  x + y + z - 7 = 0. hfill cr}  hfill  cr  } } ight.)

Giải hệ ta được (t = {4 over 3} Rightarrow H = left( {{4 over 3};{{10} over 3};{7 over 3}} ight)).

Phương trình đường thẳng AH là

(left{ {matrix{   {{ m{x }} = 3 + 5t} hfill  cr   {;y = 3-t} hfill  cr   {;z = 1 - 4t.} hfill  cr  } } ight.)

3. Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực ((pi )) của đoạn AB. Gọi I  là trung điếm AB, ta có(I = left( {{3 over 2};{5 over 2};1} ight).)

Mặt phẳng ((pi )) đi qua I  và có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow {BA}  = left( {3{ m{ }};{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }}0} ight)) nên có phương trình :              (left( pi  ight):3x + y - 7 = 0.)

Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và ((pi )). Do đó d có phương trình : 

                            (left{ {matrix{   {{ m{x  =  }}t} hfill  cr   matrix{  y = 7 - 3t hfill cr  z = 2t. hfill cr}  hfill  cr  } } ight.)

4. Vì (AB ot mp(pi )) và (d subset mp(pi ))nên nếu trong (mp(pi )), kẻ đường thẳng IM vuông góc với (d(M in d)) thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d.

Ta có (M = (t;7 - 3t;2t) )

(Rightarrow overrightarrow {IM}  = left( {t - {3 over 2};{9 over 2} - 3t;2t - 1} ight).)

Đường thẳng d  có vec tơ chỉ phương là (overrightarrow {{u_d}}  = (1; - 3;2).)

(IM ot d Leftrightarrow overrightarrow {IM} .overrightarrow {{u_d}}  = 0 Leftrightarrow t = {{17} over {14}} )

(Rightarrow overrightarrow {IM}  = left( { - {4 over {14}};{{12} over {14}};{{20} over {14}}} ight))

Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương ({{14} over 4}overrightarrow {IM}  = ( - 1;3;5),) đường thẳng đó có phương trình :

(left{ matrix{  x = {3 over 2} - t hfill cr  y = {5 over 2} + 3t hfill cr  z = 1 + 5t. hfill cr}  ight.)

5. Cách 1. (K in AB Rightarrow K = (3 - 3t;3 - t;1).)

(eqalign{  & d(K,(P)) = d(B,(P)) cr&Leftrightarrow {{left| {3 - 3t + 3 - t + 1 - 7} ight|} over {sqrt 3 }} = {{left| {0 + 2 + 1 - 7} ight|} over {sqrt 3 }}.  cr  &  Leftrightarrow left| { - 4t} ight| = left| { - 4} ight| Leftrightarrow left| t ight| = 1 Leftrightarrow left[ matrix{  t = 1 hfill cr  t =  - 1. hfill cr}  ight. cr} )

Với t=1, K=(0;2;1) nên (K equiv B((loại).

Với t=-1, K=(6;4;1).

Vậy K(6;4;1) là điểm phải tìm.

Cách 2. Vì (A in (P)) nên (d(K;(P)) = d(B,(P))) khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K=(6;4;1).

6. Với (C in d) thì ({S_{ABC}} = {1 over 2}AB.CI), AB không đổi nên ({S_{ABC}}) nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d.

Vì (C in d) nên (C = (t;7 - 3t;2t)), suy ra (overrightarrow {IC}  = left( {t - {3 over 2};7 - 3t - {5 over 2};2t - 1} ight))

Ta có (IC ot d Leftrightarrow overrightarrow {IC} .overrightarrow {{u_d}}  = 0)

(Leftrightarrow t - {3 over 2} - 3left( {7 - 3t - {5 over 2}} ight) + 2(2t - 1) = 0)

(Leftrightarrow t = {{17} over {14}}.)

Vậy điểm C cần tìm là (C = left( {{{17} over {14}};{{47} over {14}};{{34} over {14}}} ight))(chính là điểm M ở câu 4).

Sachbaitap.com