Bài 10 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tam giác ABC vuông ở A

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = c,AC = b. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S  bất kì, (S e A) . Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC.

1. Xác định tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, B₁, C₁ và tính bán kính của mặt cầu đó.

2.Cho SA = h, tính tỉ số thể tích của hai tứ diện SA B₁C₁ và SABC.

Giải

 1.Ta có AC ( ot ) mp(SAB) nến AC( ot )SB, từ đó SB ( ot ) B₁C tức là (widehat {B{B_1}C} = {90^0})

Tương tự ta cũng có (widehat {B{C_1}C} = {90^0}). Vậy tâm mặt cầu đi qua B, C, A, B₁, C₁ là trung điểm O của BC.

Ta có (AO = {1 over 2}{ m{ }}BC,)

(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = { m{ }}{b^2} + { m{ }}{c^2}.)

Từ đó bán kính mặt cầu bằng({{sqrt {{b^2} + { m{ }}{c^2}} } over 2}.)   

2. Ta có

({{{V_{S.A{B_1}{C_1}}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} over {SA}}.{{S{B_1}} over {SB}}.{{S{C_1}} over {SC}} )

(= {{S{B_1}.SB} over {S{B^2}}}.{{S{C_1}.SC} over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} over {S{B^2}}}.{{S{A^2}} over {S{C^2}}} = {{{h^4}} over {left( {{h^2} + {c^2}} ight)left( {{h^2} + {b^2}} ight)}}.)

Vậy tỉ số thể tích của hai tứ diện (SA{B_1}{C_1}) và (SABC) bằng ({{{h^4}} over {({h^2} + {b^2})({h^2} + {c^2})}}.)

Sachbaitap.com