Bài 16 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 3 ; 1), B(0 ; 2 ; 1) và mặt phẳng (left( P ight):x{ m{ }} + { m{ }}y{ m{ }} + { m{ }}z - { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0.)

1. Viết phương trình đựờng thẳng AB.

2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

3. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) mà mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B.

4. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

5. Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB (left( {K e B} ight)) sao cho

                            (dleft( {K,left( P ight)} ight){ m{ }} = { m{ }}dleft( {B,left( P ight)} ight).)

6. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Giải

1. Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(0;2;-4) và có vec tơ chỉ phương (overrightarrow {{u_1}}  = (1; - 1;2).) thẳng d₂ đi qua điểm M₁(-8;6;10) và có vec tơ chỉ phương (overrightarrow {{u_2}}  = (2;1; - 1).)

Ta có (left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight] = ( - 1;5;3),overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 8;4;14) )

(Rightarrow left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight].overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 70 e 0)

( Rightarrow {d_1},{d_2}) chéo nhau.

2. Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng chứa d₂ và song song với d₁. Khi đó (mp(alpha )) qua điểm ({M_2}( - 8;6;10)) và có vec tơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } ight] = ( - 1;5;3))

( Rightarrow left( alpha  ight):x - 5y - 3z + 68 = 0.)

3. (dleft( {{d_1},{d_2}} ight) = d({M_1},left( alpha  ight) )

                      (= {{left| {0 - 10 + 12 + 68} ight|} over {sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} over {sqrt {35} }} = 2sqrt {35} .)

4. Viết lại phương trình đường thẳng ({d_1},{d_2}) dưới dạng tham số. Từ đó :

(M in {d_1}) nên M=(t;2-t;-4+2t)

(N in {d_2}) nên N=(-8+2t’;6+t’;10-t’)

( Rightarrow overrightarrow {MN}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).)

Đường thẳng MN sẽ là đường thẳng d phải tìm khi (MNparallel Ox) hay hai vec tơ (overrightarrow {MN} )và (overrightarrow i (1;0;0)) cùng phương, nghĩa là

(left{ matrix{  t' + t =  - 4 hfill cr  t' + 2t = 14 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  t = 18 hfill cr  t' =  - 22. hfill cr}  ight.)

Vậy M=(18;-16;32) và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :

(d:left{ matrix{  x = 18 + t hfill cr  y =  - 16 hfill cr  z = 32. hfill cr}  ight.)

5.

(eqalign{  & A in {d_1} Rightarrow A = (t;2 - t; - 4 + 2t),  cr  & B in {d_2} Rightarrow B = ( - 8 + 2t';6 + t';10 - t'),  cr  &  Rightarrow overrightarrow {AB}  = ( - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t).  cr  & overrightarrow {AB}  ot overrightarrow {{u_1}}  Leftrightarrow 6t + t' = 16,  cr  & overrightarrow {AB}  ot overrightarrow {{u_2}}  Leftrightarrow t + 6t' = 26. cr} )

Giải hệ (left{ matrix{  6t + t' = 16 hfill cr  t + 6t' = 26 hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  t = 2 hfill cr  t' = 4 hfill cr}  ight. )

(Rightarrow  A = (2;0;0) ; B = (0;10;6). )

Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=(1;5;3), bán kính bằng (sqrt {35} ). Phương trình của nó là :

({left( {x - 1} ight)^2} + {left( {y - 5} ight)^2} + {left( {z - 3} ight)^2} = 35.)

Sachbaitap.com