Câu 2.32 trang 65 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm hệ số của số hạng

Tìm hệ số của số hạng chứa ({x^8}) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ({left( {{1 over {{x^3}}} + sqrt {{x^5}} } ight)^n}) biết rằng (C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7left( {n + 3} ight))

Giải

Theo hằng đẳng thức Pa-xcan ta có

(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = C_{n + 3}^{n + 1} = C_{n + 3}^2 = {{(n + 3)(n + 2)} over 2}) suy ra ((n + 2)(n + 3) = 14(n + 3)).

Vậy (n = 12). Số hạng thứ (k) trong khai triển của biểu thức đã cho là (C_{12}^k{x^{ - 3(12 - k)}}{x^{{{5k} over 2}}}).

Ta có phương trình ( - 3(12 - k) + 5{k over 2} = 8). Suy ra (11k = 88) vậy (k = 8).

Vậy hệ số của số hạng chứa ({x^8}) trong khai triển là: (C_{12}^8 = 495).

zaidap.com