Bài 56 trang 218 Đại số 10 Nâng cao: Tính:...

Tính

a) 

(sinalpha ,{ m{ }}cos2alpha ,{ m{ }}sin2alpha ,,cos {alpha over 2},sin {alpha over 2}) biết

(cos alpha = {4 over 5} ) và (- {pi over 2} < alpha < 0 )

b) ( an ({pi  over 4} – alpha )) biết 

(left{ matrix{
cos alpha = – {9 over {11}} hfill cr
pi < alpha < {{3pi } over 2} hfill cr} ight.)

c) ({sin ^4}alpha  – {cos ^4}alpha ) biết (cos2alpha  = {3 over 5})

d) 

(cos (alpha – eta )) biết (left{ matrix{
sin alpha – sin eta = {1 over 3} hfill cr
cos alpha – cos eta = {1 over 2} hfill cr} ight.)

e) (sin {pi  over {16}}sin {{3pi } over {16}}sin {{5pi } over {16}}sin {{7pi } over {16}})

Đáp án

a) Ta có:

(eqalign{
& – {pi over 2} < alpha < 0 Rightarrow sin alpha < 0cr& Rightarrow sin alpha = – sqrt {1 – {{cos }^2}alpha } = – {3 over 5} cr
& sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha = – {{24} over {25}} cr
& cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha – 1 = {7 over {25}} cr
& cos {alpha over 2} = sqrt {{{1 + cos alpha } over 2}} = {{3sqrt {10} } over {10}};cr&sin {alpha over 2} =- sqrt {{{1 – cos alpha } over 2}} = – {{sqrt {10} } over {10}} cr} )

b) Vì (pi  < alpha  < {{3pi } over 2} Rightarrow an alpha  > 0)

Do đó:

(eqalign{
& an alpha = sqrt {{1 over {{{cos }^2}}} – 1} = {{2sqrt {10} } over 9} cr
& an ({pi over 4} – alpha ) = {{1 – an alpha } over {1 + an alpha }} = {{121 – 36sqrt {10} } over {41}} cr} ) 

c) Ta có:

(eqalign{
& {sin ^4}alpha – {cos ^4}alpha = ({sin ^2}alpha – {cos ^2}alpha )({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha ) cr
& = {sin ^2}alpha – {cos ^2}alpha = – cos 2alpha = – {3 over 5} cr} )

d) Ta có:

(eqalign{
& {(sin alpha – sin eta )^2} = {({1 over 3})^2}cr& Rightarrow {sin ^2}alpha + {sin ^2}eta – 2sin alpha sin eta = {1 over 9},,,,,,(1) cr
& {(cosalpha – cos eta )^2} = {({1 over 2})^2}cr& Rightarrow {cos ^2}alpha + {cos ^2}eta – 2cos alpha cos eta = {1 over 4},,,(2) cr} )

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

 (1 + 1 – 2(cosalpha cos eta  + sin alpha sin eta ) = {1 over 9} + {1 over 4} = {{13} over {36}})

Từ đó: (cos (alpha  – eta ) = {{59} over {72}})

e) Ta có:

(eqalign{
& sin {pi over {16}}sin {{3pi } over {16}}sin {{5pi } over {16}}sin {{7pi } over {16}}cr& = sin {pi over {16}}sin {{3pi } over {16}}sin ({pi over 2} – {{3pi } over 6})sin ({pi over 2} – {pi over {16}}) cr
& = sin {pi over {16}}sin {{3pi } over {16}}cos {{3pi } over {16}}cos {pi over {16}}cr& = ({1 over 2}sin {pi over 8})({1 over 2}sin {{3pi } over 8}) cr
& = {1 over 4}sin {pi over 8}sin ({pi over 2} – {pi over 8}) cr&= {1 over 4}sin{pi over 8}cos {pi over 8} = {1 over 8}sin {pi over 4} = {{sqrt 2 } over {16}} cr} )