Bài 57 trang 218 Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) (2sin ({pi  over 4} + alpha )sin ({pi  over 4} – alpha ) = cos 2alpha )

b) (sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα)

c) ({{1 + sin 2alpha  – cos 2alpha } over {1 + sin 2alpha  + cos 2alpha }} = an alpha ) (khi các biểu thức có nghĩa)

d) ( an alpha  – {1 over { an alpha }} =  – {2 over { an 2alpha }}) (khi các biểu thức có nghĩa)

Đáp án

a) Ta có:

(2sin ({pi  over 4} + alpha ).sin({pi  over 4} – alpha ) )

(= cos 2alpha  – cos {pi  over 2} = cos 2alpha )

b) Ta có:

(eqalign{
& sinalpha left( {1 + cos2alpha } ight) cr&= sin alpha (1 + 2{cos ^2}alpha – 1) cr
& = 2sin alpha {cos ^2}alpha = sin 2alpha cos alpha cr} )

c)

(eqalign{
& {{1 + sin 2alpha – cos 2alpha } over {1 + sin 2alpha + cos 2alpha }} = {{sin 2alpha (1 – cos 2alpha )} over {sin 2alpha (1 + cos 2alpha )}} cr
& = {{sin 2alpha + 2{{sin }^2}alpha } over {sin 2alpha + 2{{cos }^2}alpha }} = {{2sin alpha (cosalpha + sinalpha )} over {2cos alpha (cosalpha + sinalpha )}} cr&= an alpha cr} )

d)  

( an alpha  – {1 over { an alpha }} = 2.{{{{ an }^2}alpha  – 1} over {2 an alpha }} =  – {2 over { an 2alpha }})