Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

Bài 52. Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:

a) Parabol (y = {x^2} - 2x + 2,) tiếp tuyến của nó tại điểm (M(3;5)) và trục tung;
b) Parabol (y =  - {x^2} + 4x - 3) và các tiếp tuyến của nó tại các điểm (A(0;-3)) và (B(3;0))

Giải

a)

Ta có (y' = 2x - 2 Rightarrow y'left( 3 ight) = 4.)
Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3;5) là:
(y - 5 = 4left( {x - 3} ight) Leftrightarrow y = 4x - 7)
Gọi S là diện tích cần tìm, ta có :

(eqalign{
& S = intlimits_0^3 {left( {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} ight)} dx cr
& ,,, = intlimits_0^3 {left( {{x^2} - 6x + 9} ight)} dx = intlimits_0^3 {{{left( {x - 3} ight)}^2}dx} cr
& ,,, = left. {{1 over 3}{{left( {x - 3} ight)}^3}} ight|_0^3 = 9. cr} )

b)

Ta có (y' =  - 2x + 4 Rightarrow y'left( 0 ight) = 4;y'left( 3 ight) =  - 2)
Phương trình tiếp tuyến tại (A(0;3)) là :
(y + 3 = 4left( {x - 0} ight) Leftrightarrow y = 4x - 3)
Phương trình tiếp tuyến tại (B(3;0)) là :
(y =  - 2left( {x - 3} ight) Leftrightarrow y =  - 2x + 6)
Giao điểm của hai tiếp tuyến là (Cleft( {{3 over 2};3} ight).) kí hiệu ({A_1}) và ({A_2}) là tam giác cong (ACD) Và (BCD). Ta có :

(Sleft( {{A_1}} ight) = intlimits_0^{{3 over 2}} {left( {4x - 3 + {x^2} - 4x + 3} ight)} dx = intlimits_0^{{3 over 2}} {{x^2}dx = left. {{{{x^3}} over 3}} ight|_0^{{3 over 2}}}  = {9 over 8})

(Sleft( {{A_2}} ight) = intlimits_{{3 over 2}}^3 {left( { - 2x + 6 + {x^2} - 4x + 3} ight)} dx = intlimits_{{3 over 2}}^3 {{{left( {x - 3} ight)}^2}dx = } left. {{1 over 3}{{left( {x - 3} ight)}^3}} ight|_{{3 over 2}}^3 = {9 over 8})

Vậy (S = Sleft( {{A_1}} ight) + Sleft( {{A_2}} ight) = {9 over 8} + {9 over 8} = {9 over 4})

soanbailop6.com