Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:...

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m²+2)x² – 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x² + 2(m+2)x + m + 3

Giải

a) Vì m² + 2 > 0 nên (m²+2)x² – 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = (m + 1)² – (m² + 2) < 0 ⇔ 2m – 1< 0

( Leftrightarrow m < {1 over 2})

Vậy với (m < {1 over 2}) thì (m²+2)x² – 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

b) Với (m = -2) thì ta có: (f(x) = 1 >0, ∀x ∈mathbb R)

Với (m ≠ -2) ta có: (f(x) > 0, ∀x ∈ R)

( Leftrightarrow left{ matrix{
a > 0 hfill cr
Delta ‘ < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
m + 2 > 0 hfill cr
{(m + 2)^2} – (m + 2)(m + 3) < 0 hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
m > – 2 hfill cr
– m – 2 < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m > – 2) 

Vậy (f(x) > 0, ∀x ∈mathbb R  ⇔ m ≥ -2)