Bài 5 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho điểm . a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục...

Bài 5. Cho điểm (Mleft( {a;b;c} ight)).

a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.

c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.

Giải

a) Gọi ({M_1}left( {x;y;0} ight)) là hình chiếu của điểm (Mleft( {a;b;c} ight)) trên mp(Oxy) thì (overrightarrow {M{M_1}}  = left( {x – a,y – b, – c} ight)) và (overrightarrow {M{M_1}} .overrightarrow i  = overrightarrow {M{M_1}} .overrightarrow j  = 0) nên:

(left{ matrix{
x – a = 0 hfill cr
y – b = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = a hfill cr
y = b hfill cr} ight. Rightarrow {M_1}left( {a;b;0} ight)).

Tương tự ({M_2}left( {0;b;c} ight)) là hình chiếu của (Mleft( {a;b;c} ight)) trên mp(Oyz)
Và ({M_3}left( {a;0;c} ight)) là hình chiếu của (Mleft( {a;b;c} ight)) trên mp(Oxz).
Giả sử ({M_4}left( {x;0;0} ight)) là hình chiếu của (Mleft( {a;b;c} ight)) trên trục Ox thì
(overrightarrow {M{M_4}}  = left( {x – a; – b; – c} ight)) và (overrightarrow {M{M_4}} .overrightarrow i  = 0) nên x = a. Vậy ({M_4}left( {a;0;0} ight)).
Tương tự ({M_5}left( {0;b;0} ight)) và ({M_6}left( {0;0;c} ight)) lần lượt là hình chiếu của (Mleft( {a;b;c} ight)) trên trục Oy và Oz.

b) Khoảng cách từ M đến (Oxy) là:

(eqalign{
& dleft( {M;left( {Oxy} ight)} ight) = M{M_1} = sqrt {{{left( {a – a} ight)}^2} + {{left( {b – b} ight)}^2} + {{left( {c – 0} ight)}^2}} = left| c ight| cr
& dleft( {M;left( {Oyz} ight)} ight) = left| a ight|;dleft( {M;left( {Oxz} ight)} ight) = left| b ight| cr
& dleft( {M;Ox} ight) = M{M_4} = sqrt {{{left( {a – a} ight)}^2} + {{left( {b – 0} ight)}^2} + {{left( {c – 0} ight)}^2}} = sqrt {{b^2} + {c^2}} cr
& dleft( {M;Oy} ight) = sqrt {{a^2} + {c^2}} ,dleft( {M;Oz} ight) = sqrt {{a^2} + {b^2}} cr} )

c) Gọi (M_1’left( {x;y;z} ight)) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxy) thì ({M_1}) là trung điểm của (MM_1’) nên

(left{ matrix{
{x_{{M_1}}} = {{{x_M} + {x_{M_1′}}} over 2} hfill cr
{y_{{M_1}}} = {{{y_M} + {y_{M_1′}}} over 2} hfill cr
{z_{{M_1}}} = {{{z_M} + {z_{M_1′}}} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_{M_1′}} = 2{x_{{M_1}}} – {x_M} = 2a – a = a hfill cr
{y_{M_1′}} = 2{y_{{M_1}}} – {y_M} = 2b – b = b hfill cr
{z_{M_1′}} = 2{z_{{M_1}}} – {z_M} = 0 – c = – c hfill cr} ight. Rightarrow M_1’left( {a;b; – c} ight))

Tương tự (M_2’left( { – a;b;c} ight)) là điểm đối xứng của M qua mp(Oyz)
Và (M_3’left( {a; – b;c} ight)) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxz).