Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho vectơ tùy ý khác. Chứng minh rằng...

Bài 2. Cho vectơ (overrightarrow u ) tùy ý khác (overrightarrow 0 ). Chứng minh rằng ({cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight) + {cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow j } ight) + {cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight) = 1)

Giải

Giả sử (overrightarrow u  = left( {x;y;z} ight)) ta có:
(cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight) = {{overrightarrow u .overrightarrow i } over {left| {overrightarrow u } ight|left| {overrightarrow i } ight|}} = {x over {sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} Rightarrow {cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight) = {{{x^2}} over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}})
Tương tự: ({cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow j } ight) = {{{y^2}} over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}) và ({cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight) = {{{z^2}} over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}).
Vậy ({cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow i } ight) + {cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow j } ight) + {cos ^2}left( {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1)