Bài 45 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện đều ABCD

Cho tứ diện đều ABCD, AA₁là một dường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA₁. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Giải

Gọi N là trung điểm của BC và J là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện  BCDJ và ABCJ.

Dễ thấy ({ m{AJ = }}{1 over 4}AD.)

Vì ({ m{A}}{{ m{A}}_1} ot mp(BCD)) nên mọi điểm thuộc ({ m{A}}{{ m{A}}_1}) cách đều B,C, D. Khi đó, tâm O₁ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của ({ m{A}}{{ m{A}}_1}) với đường trung trực của JD( xét trong mp(({ m{A}}{{ m{A}}_1}D))).

Tương tự như trên, tâm O₂ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD₁))(DD₁ là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DJ và AJ. Xét tứ giác nội tiếp ({O_1}{A_1}DE) (hình 89b), ta có

(eqalign{  & AE.AD = A{O_1}{ m{.A}}{{ m{A}}_1}  cr  &  Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} over {A{A_1}}}. cr} )

Mặt khác

({ m{A}}{{ m{A}}_1} = {{asqrt 6 } over 3},AE = {a over 4} + {{3a} over 8} = {{5a} over 8}.)

Từ đó

(A{O_1} = {{5a.a} over {8.{{asqrt 6 } over 3}}} = {{5asqrt 6 } over {16}}.)

Và do đó ({A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1} )

                           (= {{asqrt 6 } over 3} - {{5asqrt 6 } over {16}} = {{asqrt 6 } over {48}})

Vậy bán kính ({R_1}) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ  là

(eqalign{  & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}cr&;;;;;; = {{6{a^2}} over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} over 9} = {{{a^2}} over {48.8}} + {{{a^2}} over 3} = {{129.{a^2}} over {48.8}}  cr  &  Rightarrow {R_1} = {{asqrt {129} } over {8sqrt 6 }}. cr} )

Từ giác ({O_2}{D_1}FA) nội tiếp đường tròn nên

({ m{D}}{{ m{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} over {D{D_1}}}.)

Mặt khác

(DF = {{3a} over 4} + {a over 8} = {{7a} over 8},DA = a,{ m{D}}{{ m{D}}_1} = {{asqrt 6 } over 3},) từ đó

(D{O_2} = {{{{7a} over 8}.a} over {{{asqrt 6 } over 3}}} = {{21asqrt 6 } over {8.6}} = {{7asqrt 6 } over {16}}.)

Suy ra ({{ m{D}}_1}{{ m{O}}_2} = {{7asqrt 6 } over {16}} - {{asqrt 6 } over 3} = {{5asqrt 6 } over {48}}) và do đó, bán kính ({R_2}) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là

(R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2} )

       (= {{25{a^2}.6} over {{{48}^2}}} + {left( {{{asqrt 3 } over 3}} ight)^2} )

       (= {{25{a^2}} over {48.8}} + {{{a^2}} over 3} = {{153{a^2}} over {48.8}},)

Từ đó ({R_2} = {{asqrt {153} } over {8sqrt 6 }}.) Vậy ({{{R_1}} over {{R_2}}} = {{asqrt {129} } over {8sqrt 6 }}:{{asqrt {153} } over {8sqrt 6 }} = sqrt {{{43} over {51}}} .)

Sachbaitap.com