Bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình lôgarit ...
Giải bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12. Giải các bất phương trình lôgarit
Đề bài
Giải các bất phương trình lôgarit:
a) (lo{g_8}left( {4 - { m{ }}2x} ight){ m{ }} ge { m{ }}2);
b) (log_{frac{1}{5}}(3x - 5)) > (log_{frac{1}{5}}(x +1));
c) (lo{g_{0,2}}x{ m{ }}-{ m{ }}lo{g_5}left( {x - { m{ }}2} ight){ m{ }} < { m{ }}lo{g_{0,2}}3);
d) (log_{3}^{2}x - 5log_3 x + 6 ≤ 0).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: ({log _a}x ge b Leftrightarrow left[ egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1x ge {a^b}end{array} ight.left{ egin{array}{l}0 < a < 1 < x le {a^b}end{array} ight.end{array} ight.).
b) Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: ({log _a}fleft( x ight) > {log _a}gleft( x ight) Leftrightarrow left[ egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1fleft( x ight) > gleft( x ight)end{array} ight.left{ egin{array}{l}0 < a < 1fleft( x ight) < gleft( x ight)end{array} ight.end{array} ight.).
c) Tìm ĐK.
Đưa về cùng logarit cơ số 0,2, sử dụng công thức cộng các logarit cùng cơ số: ({log _a}x + {log _a}y = {log _a}left( {xy} ight)) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Đưa về bất phương trình logarit cơ bản:
({log _a}fleft( x ight) < {log _a}gleft( x ight) Leftrightarrow left[ egin{array}{l}left{ egin{array}{l}a > 1 < fleft( x ight) < gleft( x ight)end{array} ight.left{ egin{array}{l}0 < a < 1fleft( x ight) > gleft( x ight) > 0end{array} ight.end{array} ight.).
d) Tìm ĐK.
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: (t = log_3x), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: (4 - 2x > 0 Leftrightarrow x < 2)
(egin{array}{l},,,,,,{log _8}left( {4 - 2x} ight) ge 2Leftrightarrow 4 - 2x ge 8^2=64 ,,(Do ,8>1)Leftrightarrow 2x le - 60Leftrightarrow x le - 30end{array}).
Kết hợp điều kiện (x<2) ta có (x le -30).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S = left( { - infty ;-30} ight])
b) ĐK:
(left{ egin{array}{l}3x - 5 > 0x + 1 > 0end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x > frac{5}{3}x > - 1end{array} ight. Leftrightarrow x > frac{5}{3})
(egin{array}{l}{log _{frac{1}{5}}}left( {3x - 5} ight) > {log _{frac{1}{5}}}left( {x + 1} ight)Leftrightarrow 3x - 5 < x + 1,, (Do, {{1}over{5}}<1)Leftrightarrow 2x < 6Leftrightarrow x < 3end{array}).
Kết hợp điều kiện ta có: ({{5} over {3}} <x<3).
c) Điều kiện: (x > 2). Chú ý rằng
(log_5(x- 2) = log_{left ( frac{1}{5} ight )^{-1}}(x- 2) = -log_{0,2}(x- 2)), nên bất phương trình đã cho tương đương với
(lo{g_{0,2}}x{ m{ }} + lo{g_{0,2}}left( {x - { m{ }}2} ight) < { m{ }}lo{g_{0,2}}3)
(⇔lo{g_{0,2}}xleft( {x - { m{ }}2} ight){ m{ }} < { m{ }}lo{g_{0,2}}3 )
(Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }}left( {x{ m{ }} - { m{ }}2} ight){ m{ }} > { m{ }}3)
(⇔ x^2- 2x – 3 > 0 )
(⇔ (x - 3) (x+ 1) > 0)
(⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3) (do (x > 2)).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( S = left( 2; +infty ight) ).
d) ĐK: (x>0).
Đặt (t = log_3x) ta được bất phương trình
(t^2– 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3).
(⇔2 ≤ log_3x ≤3 ⇔2^3 ≤ x ≤ 3^3 ⇔ 9 ≤ x ≤ 27).
Kết hợp điều kiện ta có (9 ≤ x ≤ 27).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( S = left[9;27 ight] ).
soanbailop6.com
