Bài 4.7 trang 126 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số...

Cho dãy số 

(left( {{u_n}} ight):left{ matrix{
{u_1} = 0 hfill cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} over {{u_n} + 4}}{ m{ voi }}n ge 1 hfill cr} ight.)

a)      Lập dãy số (left( {{x_n}} ight)) với ({x_n} = {{{u_n} – 1} over {{u_n} + 3}}). Chứng minh dãy số là cấp số nhân.

b)      Tìm công thức tính ({x_n},{u_n}) theo n.

Giải:

Từ giả thiết có

({u_{n + 1}}left( {{u_n} + 4} ight) = 2{u_n} + 3) hay ({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3)   (1)

Lập tỉ số ({{{x_{n + 1}}} over {{x_n}}} = {{{u_{n + 1}} – 1} over {{u_{n + 1}} + 3}}.{{{u_n} + 3} over {{u_n} – 1}} = {{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} – {u_n} – 3} over {{u_{n + 1}}{u_n} – {u_{n + 1}} + 3{u_n} – 3}})    (2)

Từ (1) suy ra ({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}}) thay vào (2) ta được

({{{x_{n + 1}}} over {{x_n}}} = {{2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} – {u_n} – 3} over {2{u_n} + 3 – 4{u_{n + 1}} – {u_{n + 1}} + 3{u_n} – 3}} = {{{u_n} – {u_{n + 1}}} over {5left( {{u_n} – {u_{n + 1}}} ight)}} = {1 over 5})

Vậy ({x_{n + 1}} = {1 over 5}{x_n}) ta có cấp số nhân (left( {{x_n}} ight)) với (q = {1 over 5}) và ({x_1} =  – {1 over 3})

Ta có ({x_n} =  – {1 over 3}{left( {{1 over 5}} ight)^{n – 1}})

Từ đó tìm được ({u_n} = {{3{x_n} – 1} over {1 – {x_n}}} = {{ – {{left( {{1 over 5}} ight)}^{n – 1}} – 1} over {1 + {1 over 3}{{left( {{1 over 5}} ight)}^{n – 1}}}} = {{{{left( {{1 over 5}} ight)}^{n – 1}} + 1} over {{1 over 3}{{left( {{1 over 5}} ight)}^{n – 1}} + 1}})