Bài 2.4 trang 112 SBT Đại số và giải tích 11: Viết công thức truy hồi của dãy số...

Cho dãy số (u_n) với

a)      Viết công  thức truy hồi của dãy số ;

b)      Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;

c)      Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Giải:

a)      Ta có ({u_1} = 0)

Xét hiệu ({u_{n + 1}} – {u_n} = {left( {n + 1} ight)^2} – 4left( {n + 1} ight) + 3 – {n^2} + 4n – 3 = 2n – 3)

Vậy công thức truy hồi là 

(left{ matrix{
{u_1} = 0. hfill cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n – 3{ m,,{ với }},,n ge 1 hfill cr} ight.)

b) ({u_n} = {n^2} – 4n + 3 = {left( {n – 2} ight)^2} – 1 ge  – 1). Vậy dãy số  bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

c)

(eqalign{
& {S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} – 4left( {1 + 2 + … + n} ight) + 3n cr
& { m{ = }}{{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 6} – 4.{{nleft( {n + 1} ight)} over 2} + 3n cr
& { m{ = }}{{nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight) – 12nleft( {n + 1} ight) + 18n} over 6} cr
& { m{ = }}{{nleft( {n + 1} ight)left( {2n – 11} ight) + 18n} over 6} cr} )