Bài 2.8 trang 112 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì...

Cho dãy số (u_n) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì (0 < {u_n} < 1) và ({u_{n + 1}} < 1 – {1 over {4{u_n}}})

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Giải:

Vì (0 < {u_n} < 1) với mọi n nên (1 – {u_{n + 1}} > 0). 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có ({u_{n + 1}}left( {1 – {u_{n + 1}}} ight) le {1 over 4})

Mặt khác, từ giả thiết ({u_{n + 1}} < 1 – {1 over {4{u_n}}})

suy ra ({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} – {1 over 4}) hay ({1 over 4} < {u_n}left( {1 – {u_{n + 1}}} ight))

So sánh (1) và (2) ta có:

({u_{n + 1}}left( {1 – {u_{n + 1}}} ight) < {u_n}left( {1 – {u_{n + 1}}} ight)) hay ({u_{n + 1}} < {u_n})