Bài 24 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng :

Chứng minh các tính chất sau đây có tích có hướng :

(eqalign{  & a)left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight] =  - left[ {  overrightarrow b ,overrightarrow a } ight];  cr  & b)left[ {overrightarrow a ,overrightarrow a } ight] = overrightarrow 0 ;  cr  & c)left[ {koverrightarrow a ,overrightarrow b } ight] = kleft[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight] = left[ {overrightarrow a ,koverrightarrow b } ight];  cr  & d)left[ {overrightarrow c ,overrightarrow a  + overrightarrow b } ight] = left[ {overrightarrow c ,overrightarrow a } ight] + left[ {overrightarrow c ,overrightarrow b } ight];  cr  &  cr} )

(eqalign{  & e)overrightarrow a left[ {overrightarrow b ,overrightarrow c } ight] = left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight].overrightarrow c ;  cr  & g)left| {{{left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight]}^2}} ight| = {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow b } ight|^2} - {(overrightarrow a .overrightarrow b )^2}. cr} )

Giải

Giả sử (overrightarrow a  = ({x_1};{y_1};{z_1}),overrightarrow b  = ({x_2};{y_2};{z_2}),overrightarrow c  = ({x_3};{y_3};{z_3}))

(eqalign{  & a)left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight] = left( {left| matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight|;left| matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight|;left| matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})  cr  &  =  - ({y_2}{z_1} - {y_1}{z_2};{z_2}{x_1} - {z_1}{x_2};{x_2}{y_1} - {x_1}{y_2})  cr  &  =  - left( {left| matrix{  {y_2} hfill cr  {y_1} hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_2} hfill cr  {z_1} hfill cr}  ight|;left| matrix{  {z_2} hfill cr  {z_1} hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_2} hfill cr  {x_1} hfill cr}  ight|;left| matrix{  {x_2} hfill cr  {x_1} hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_2} hfill cr  {y_1} hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  =  - left[ {overrightarrow b ,overrightarrow a } ight]. cr} )

b) Từ câu a) ta có (left[ {overrightarrow a ,overrightarrow a } ight] =  - left[ {overrightarrow a ,overrightarrow a } ight]) , suy ra (left[ {overrightarrow a ,overrightarrow a } ight] = overrightarrow 0 ).

c) (eqalign{  & kleft[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight] = left( {kleft| matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight|;kleft| matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight|;kleft| matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = left( {left| matrix{  k{y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  k{z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight|;left| matrix{  k{z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  k{x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight|;left| matrix{  k{x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  k{y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = left[ {koverrightarrow a ,overrightarrow b } ight]. cr} )

Tương tự (kleft[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight] = left[ {overrightarrow a ,koverrightarrow b } ight].)

d)

e)

(eqalign{  & overrightarrow a .left[ {overrightarrow b ,overrightarrow c } ight] cr&= {x_1}left( {left| matrix{  {y_2} hfill cr  {y_3} hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_2} hfill cr  {z_3} hfill cr}  ight| + {y_1}left| matrix{  {z_2} hfill cr  {z_3} hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_2} hfill cr  {x_3} hfill cr}  ight| + {z_1}left| matrix{  {x_2} hfill cr  {x_3} hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_2} hfill cr  {y_3} hfill cr}  ight|} ight)  cr  &  = {x_3}left( {left| matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight| + {y_3}left| matrix{  {z_1} hfill cr  {z_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight| + {z_3}left| matrix{  {x_1} hfill cr  {x_2} hfill cr}  ight.left. matrix{  {y_1} hfill cr  {y_2} hfill cr}  ight|} ight)  cr  & =left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight].overrightarrow c cr} )

g)

(eqalign{   VP &= {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow b } ight|^2} - {(overrightarrow a .overrightarrow b )^2} cr&= {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow b } ight|^2} - {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow b } ight|^2}cos^2 alpha   cr  &  = {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow b } ight|^2}(1 - {cos ^2}alpha ) = {left| {overrightarrow a } ight|^2}.{left| {overrightarrow a } ight|^2}.{sin ^2}alpha  cr} )

        ( = {left| {left[ {overrightarrow a ,overrightarrow b } ight]} ight|^2} = VT) ( ở đây (alpha  = (overrightarrow a ,overrightarrow b ))).

Sachbaitap.com