Bài 23 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có

A  (1;2;-1), B (2;-1;3), C (-4;7;5).

a) Tính độ dài đường cao ({h_A}) của tam giác kẻ từ A.

b) Tính độ dài đường phân giác trong tam giác kẻ từ đỉnh B.

Giải

a) Ta có (overrightarrow {AB}  = (1; - 3;4),overrightarrow {AC}  = ( - 5;5;6),overrightarrow {BC}  = ( - 6;8;2))

( Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight] = ( - 38; - 26; - 10).)

Vậy ({S_{ABC}} = {1 over 2}sqrt {{{38}^2} + {{26}^2} + {{10}^2}}  = sqrt {555} )

({h_A} = {{2{S_{ABC}}} over {BC}} = {{2sqrt {555} } over {sqrt {104} }} = {{sqrt {555} } over {sqrt {26} }}.)

b) Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ B, giả sử D=(x;y;z).

Ta có ({{DA} over {DC}} = {{BA} over {BC}} = {{sqrt {26} } over {sqrt {104} }} = {1 over 2}.)

Vì D nằm giữa A,C (phân giác trong ) nên (overrightarrow {DA}  =  - {1 over 2}overrightarrow {DC} ) hay

(overrightarrow {CD}  = 2overrightarrow {DA}  Leftrightarrow left{ matrix{  2(1 - x) = x + 4 hfill cr  2(2 - y) = y - 7 hfill cr  2( - 1 - z) = z - 5 hfill cr}  ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{  x =  - {2 over 3} hfill cr  y = {{11} over 3} hfill cr  z = 1 hfill cr}  ight.)

Vậy (D = left( { - {2 over 3};{{11} over 3};1} ight) Rightarrow BD = {{2sqrt {74} } over 3}.)

Sachbaitap.com