Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Bài 34. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) (y = {{x – 2} over {3x + 2}})                                  b) (y = {{ – 2x – 2} over {x + 3}})
c) (y = x + 2 – {1 over {x – 3}})                     d) (y = {{{x^2} – 3x + 4} over {2x + 1}})
e) (y = {{x + 2} over {{x^2} – 1}})                                   f) (y = {x over {{x^3} + 1}})

Gỉải

a) TXĐ: (D = mathbb Rackslash left{ { – {2 over 3}} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{x + 2} over {3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{1 – {2 over x}} over {3 + {2 over x}}} = {1 over 3}) và (mathop {lim }limits_{x o  – infty } y = {1 over 3}) nên đường thẳng (y = {1 over 3}) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {2 over 3}} ight)}^ + }} y =  – infty ) (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {2 over 3}} ight)}^ – }} y =  + infty ); nên đường thẳng (x =  – {2 over 3}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 3} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o  + infty } y = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 2 – {2 over x}} over {1 + {3 over x}}} =  – 2) và (mathop {lim }limits_{x o  – infty } y =  – 2) nên đường thẳng (y =  – 2) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ + }} y =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 3} ight)}^ – }} y =  – infty ) nên đường thẳng (x =  – 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 3 ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o {3^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {3^ – }} y =  + infty ) nên đường thẳng (x = 3) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: (mathop {lim }limits_{x o  + infty } left[ {y – left( {x + 2} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 1} over {x – 3}} = 0) và (mathop {lim }limits_{x o  – infty } left[ {y – left( {x + 2} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – 1} over {x – 3}} = 0) nên đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – {1 over 2}} ight})
Vì (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {1 over 2}} ight)}^ + }} y =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – {1 over 2}} ight)}^ – }} y =  – infty ) nên đường thẳng (x =  – {1 over 2}) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^2} – 3x + 4} over {xleft( {2x + 1} ight)}} = {1 over 2} cr
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y – {x over 2}} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^2} – 3x + 4} over {2x + 1}} – {x over 2}} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{ – 7x + 8} over {2left( {2x + 1} ight)}} = – {7 over 4} cr} )

(mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y =  + infty )

Đường thẳng (y = {x over 2} – {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  + infty ) và (x o  – infty )).
Cách khác:
Ta có: (y = {1 over 2}.{{{x^2} – 3x + 4} over {x + {1 over 2}}} = {1 over 2}left( {x – {7 over 2} + {{23} over {4left( {x + {1 over 2}} ight)}}} ight))

Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left[ {y – left( {{x over 2} – {7 over 4}} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{23} over {8left( {x + {1 over 2}} ight)}} = 0) nên đường thẳng (y = {x over 2} – {7 over 4}) là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 1;1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 0) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} =  – infty ) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} {{x + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} =  + infty ) nên đường thẳng (x =  – 1) là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 1} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = 0) nên (y = 0) là tiệm cận ngang
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} y =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y =  + infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.