Bài 27 trang 24 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:...

Bài 27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = sqrt {3 – 2x} ) trên đoạn (left[ { – 3;1} ight]);

b) (fleft( x ight) = x + sqrt {4 – {x^2}} )

c) (fleft( x ight) = {sin ^4}x + {cos ^2}x + 2;) 

d) (fleft( x ight) = x – sin 2x) trên đoan (left[ { – {pi  over 2};pi } ight]).

Giải

a) TXĐ: (D = left[ { – 3;1} ight]); (f’left( x ight) = {{ – 1} over {sqrt {3 – 2x,} }} < 0) với mọi (x < {3 over 2},)

Hàm số (f) nghịch biến trên đoạn (left[ { – 3;1} ight])

Do đó (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 3;1} ight]}  = fleft( { – 3} ight) = 3); (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 3;1} ight]}  = fleft( 1 ight) = 1)

b) TXĐ: (D = left[ { – 2;2} ight];f’left( x ight) = 1 – {x over {4 – {x^2}}}) với (x in left( { – 2;2} ight))

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow 1 – {x over {4 – {x^2}}} = 0 Leftrightarrow sqrt {4 – {x^2}} = x Leftrightarrow left{ matrix{
0 < x < 2 hfill cr
4 – {x^2} = {x^2} hfill cr} ight. Leftrightarrow x = sqrt 2 )

Ta có (fleft( { – 2} ight) =  – 2;fleft( {sqrt 2 } ight) = 2sqrt 2 ;fleft( 2 ight) = 2)

Vậy (mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 2;2} ight]}  = 2sqrt 2 ;,,,mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – 2;2} ight]}  =  – 2)

c) TXĐ: (D =mathbb R)

Ta có: (fleft( x ight) = {sin ^4}x + 1 – {sin ^2}x + 2 = {sin ^4}x – {sin ^2}x + 3)

Đặt (t = {sin ^2}x;0 le t le 1)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm (gleft( t ight) = {t^2} – t + 3) số trên đoạn (left[ {0;1} ight])

(g’left( t ight) = 2t – 1;g’left( t ight) = 0 Leftrightarrow t = {1 over 2})

Ta có: (gleft( 0 ight) = 3;gleft( {{1 over 2}} ight) = {{11} over {14}};gleft( 1 ight) = 3)

Do đó:  (mathop {min gleft( t ight)}limits_{t in left[ {0;1} ight]}  = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max gleft( t ight)}limits_{t in left[ {0;1} ight]}  = 3)

Vậy: (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb{R}}}  = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in {mathbb{R}}}  = 3)

d) TXĐ: (D = left[ { – {pi  over 2};pi } ight])

(f’left( x ight) = 1 – 2cos 2x;)

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi  over 3} Leftrightarrow 2x =  pm {pi  over 3} + k2pi  Leftrightarrow x =  pm {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}})

Với ( – {pi  over 2} < x < pi ,f’left( x ight) = 0) tại các điểm ( – {pi  over 6},{pi  over 6}) và ({{5pi } over 6})

Ta có (fleft( { – {pi  over 6}} ight) =  – {pi  over 6} + {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{pi  over 6}} ight) = {pi  over 6} – {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{{5pi } over 6}} ight) = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2});
.(fleft( { – {pi  over 2}} ight) =  – {pi  over 2};fleft( pi  ight) = pi )
So sánh năm giá trị trên ta được:
(mathop {max fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – {pi  over 2};pi } ight]}  = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2}) và (mathop {min fleft( x ight)}limits_{x in left[ { – {pi  over 2};pi } ight]}  =  – {pi  over 2})