Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Bài 35. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
(a),y = {{2x – 1} over {{x^2}}} + x – 3,;)             (b),,{{{x^3} + 2} over {{x^2} – 2x}})

(c),,{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} – 1,}},,;)                             (d),,{{{x^2} + x + 1} over { – 5{x^2} – 2x + 3}})

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ 0 ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ – }} y =  – infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left[ {y – left( {x – 3} ight)} ight] = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{2x – 1} over {{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } left( {{2 over x} – {1 over {{x^2}}}} ight) = 0) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ {0;2} ight})
* (mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} ight)}} =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} ight)}} =  + infty ) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* (mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {2^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {2^ – }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x – 2} ight)}} =  – infty ) nên (x = 2) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax +b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^3} + 2} over {{x^3} – 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{1 + {2 over {{x^3}}}} over {1 – {2 over x}}} = 1 cr
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^3} + 2} over {{x^2} – 2x}} – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{2{x^2} + 2} over {{x^2} – 2x}} = 2 cr} )

Đường thẳng (y = x + 2) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 1;1} ight})
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  – infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng .
(mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {1^ – }} y =  – infty ) nên (x = 1) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng (y = ax + b)

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{{x^3} + x + 1} over {xleft( {{x^2} – 1} ight)}} = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{1 + {1 over {{x^2}}} + {1 over {{x^3}}}} over {1 – {1 over {{x^2}}}}} = 1 cr
& b = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } left( {{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} – 1}}} ight) = mathop {lim }limits_{x o pm infty } {{2x + 1} over {{x^2} – 1}} = 0 cr} )

( Rightarrow y = x) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: (D =mathbb Rackslash left{ { – 1;{3 over 5}} ight})
* Vì (mathop {lim }limits_{x o  pm infty } y = mathop {lim }limits_{x o  pm infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over { – 5 – {2 over x} + {3 over {{x^2}}}}} =  – {1 over 5}) nên (y =  – {1 over 5}) là tiệm cận ngang.
* (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 – 5x} ight)}} =  + infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( { – 1} ight)}^ – }} y =  – infty ) nên (x = -1) là tiệm cận đứng.
(mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 – 5x} ight)}} =  – infty ) và (mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x o {{left( {{3 over 5}} ight)}^ – }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {3 – 5x} ight)}} =  + infty ) nên (x = {3 over 5}) là tiệm cận đứng.