Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao, Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:...

Bài 36. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

(a),,y = sqrt {{x^2} – 1} ,,);        b) (y = 2x + sqrt {{x^2} – 1} )
c) (y = x + sqrt {{x^2} + 1} ) d) (y = sqrt {{x^2} + x + 1} ).

Gỉải

a) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( – infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{sqrt {{x^2} – 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{xsqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}}  = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị khi (x o  + infty ).
* Tiệm cận xiên khi (x o  – infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{sqrt {{x^2} – 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – xsqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } over x} =  – mathop {lim }limits_{x o  – infty } sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}}  =  – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = -x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  – infty )).
b) TXĐ: (D =mathbb Rackslash ( – infty ;1{ m{]}} cup { m{[}}1; + infty ))
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )
Ta có: (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {2 + sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } ight) = 3)
(b = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {y – 3x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  + x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = 3x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  + infty )).
* Tiệm cận xiên khi (x o  – infty )
(a = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {2 – sqrt {1 – {1 over {{x^2}}}} } ight) = 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {sqrt {{x^2} – 1}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – 1} over {sqrt {{x^2} – 1}  – x}} = 0)
Vậy đường thẳng (y = x) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi (x o  – infty ))
c) TXĐ: (D =mathbb R)
* Tiệm cận xiên khi (x o  + infty )

(eqalign{
& a = mathop {lim }limits_{x o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {1 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } ight) = 2 cr
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y – 2x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + 1} – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 cr} )

Đường thẳng (y = 2x) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* Tiệm cận khi (x o  – infty )
(mathop {lim }limits_{x o  – infty } y = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {1 over {x – sqrt {{x^2} – 1} }} = 0)
Đường thẳng (y = 0) là tiệm cận ngang (khi (x o  – infty ))
d) TXĐ: (D =mathbb R)
* (a = mathop {lim }limits_{x o  + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  + infty } sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  = 1)

(eqalign{
& b = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {y – x} ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} – x} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{1 + {1 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }+1} = {1 over 2} cr} )

Đường thẳng (y = x + {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  + infty ))
* (a = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{ – xsqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } -sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}  =  – 1)
(b = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {y + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} ight) = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1}  – x}} = mathop {lim }limits_{x o  – infty } {{1 + {1 over x}} over { – sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }-1} =  – {1 over 2})
Đường thẳng (y =  – x – {1 over 2}) là tiệm cận xiên (khi (x o  – infty ))