Bài 3 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho hai đường tròn (O; r) và (O’; r’) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng...

Bài 3. Cho hai đường tròn ((O; r)) và ((O’; r’)) cắt nhau tại hai điểm (A, B) và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt ((P)) và ((P’)).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu ((S)) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính (R) của mặt cầu ((S)) khi (r = 5, r’ = sqrt {10} ), (AB = 6), ({ m{OO}}’ = sqrt {21} ).

Giải

a) Gọi (M) là trung điểm của (AB) ta có: (OM ot AB) và (O’M ot AB Rightarrow AB ot left( {OO’M} ight))

Gọi (Delta ,,Delta ‘) lần lượt là trục của đường tròn ((O; r)) và ((O’; r’)) thì (AB ot Delta ,,,,,AB ot Delta ‘). Do đó (Delta ,,Delta ‘) cùng nằm trong mp ((OO’M)).

Gọi (I) là giao điểm của (Delta ) và (Delta ‘) thì (I) là tâm của mặt cầu ((S)) đi qua hai đường tròn ((O; r)) và ((O’; r’)) và (S) có bán kính (R = IA).

b) Ta có: (MA = MB = 3,,,,,OA = r = 5,,,OA’ = r’ = sqrt {10} )

(eqalign{
& OM = sqrt {O{A^2} – A{M^2}} = sqrt {25 – 9} = 4 cr
& O’M = sqrt {O'{A^2} – A{M^2}} = sqrt {10 – 9} = 1 cr} )

Áp dụng định lí Cosin trong (Delta { m{OMO’}}) ta có:

(eqalign{
& OO{‘^2} = O{M^2} + O'{M^2} – 2OM.O’M.cos widehat {OMO’} cr
& Rightarrow 21 = 16 + 1 – 2.4.1.coswidehat {OMO’} Rightarrow cos widehat {OMO’} = – {1 over 2} cr
& Rightarrow widehat {OMO’} = {120^0},,,widehat {OIO’} = {60^0} cr} )

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác (OMO’) ta có:

(eqalign{
& M{O^2} = MO{‘^2} + OO{‘^2} – 2MO’.OO’.coswidehat {MO’O} cr
& Rightarrow cos widehat {MO’O} = {{sqrt {21} } over 7} Rightarrow sin widehat {OO’I} = {{sqrt {21} } over 7} cr} )

(Vì (widehat {MO’O} + widehat {OO’I} = {90^0}))

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác (OIO’) ta có:
({{OI} over {sin widehat {OO’I}}} = {{OO’} over {sin widehat {OIO’}}} Leftrightarrow {{OI} over {{{sqrt {21} } over 7}}} = {{sqrt {21} } over {{{sqrt 3 } over 2}}} Leftrightarrow OI = 2sqrt 3 )

Vậy (R = sqrt {O{A^2} + O{I^2}}  = sqrt {25  + 12} = sqrt {37} )