Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:...

Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) (y = {1 over 3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5) 

b) (y =  – {4 over 3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – {2 over 3})

c) (y = {{{x^2} – 8x + 9} over {x – 5}})             

d) (y = sqrt {2x – {x^2}} )

e) (y = sqrt {{x^2} – 2x + 3} ) 

f) (y = {1 over {x + 1}} – 2x)

Giải

a) TXĐ: (D=mathbb R)
(y’ = {x^2} – 4x + 4 = {left( {x – 2} ight)^2} ge 0), (forall x in mathbb R) dấu bằng chỉ xảy ra khi (x=2)

Vậy hàm số đồng biến trên (mathbb R).

b) TXĐ: (D=mathbb R)

(y’ =  – 4{x^2} + 12x – 9 =  – left( {4{x^2} – 12x + 9} ight))

(=  – {left( {2x – 3} ight)^2} le 0,forall x in mathbb R) dấu bằng chỉ xảy ra khi (x = {3 over 2}). Vậy hàm số nghịch biến trên (mathbb R).

c) TXĐ: (D = mathbb Rackslash left{ 5 ight})

(y’ = {{left( {2x – 8} ight)left( {x – 5} ight) – left( {{x^2} – 8x + 9} ight)} over {{{left( {x – 5} ight)}^2}}} = {{{x^2} – 10x + 31} over {{{left( {x – 5} ight)}^2}}} > 0) với mọi (x e 5)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;5} ight)) và (left( {5; + infty } ight)).

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi (2x – {x^2} ge 0 Leftrightarrow 0 le x le 2). TXĐ: (D = left[ {0;2} ight])

(y’ = {{2 – 2x} over {2sqrt {2x – {x^2}} }} = {{1 – x} over {sqrt {2x – {x^2}} }};y’ = 0 Leftrightarrow x = 1,,,,left( {y = 1} ight))

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( {0;1} ight)) và nghịch biến trên khoảng (left( {1;2} ight)).

e) TXĐ: (D = mathbb R) (vì ({x^2} – 2x + 3 > 0,forall x in mathbb R))

(y’ = {{2x – 2} over {2sqrt {{x^2} – 2x + 3} }} = {{x – 1} over {sqrt {{x^2} – 2x + 3} }});

(y’ = 0 Leftrightarrow x = 1,,,(y = sqrt 2 ))

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ;1} ight)) và đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } ight)).

f) TXĐ: (D =mathbb R ackslash left{ { – 1} ight})

(y’ =  – {1 over {{{left( {x + 1} ight)}^2}}} – 2 < 0,,,forall x e  – 1)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ; – 1} ight)) và đồng biến trên khoảng (left( { – 1; + infty } ight)) .