Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:...

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) (y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1)        b) (y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1)

c) (y = x + {3 over x})                      d) (y = x – {2 over x})

e) (y = {x^4} – 2{x^2} – 5)          f) (y = sqrt {4 – {x^2}} )

Giải

a) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 6{x^2} + 6x cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0,,left( {y = 1} ight) hfill cr
x = – 1,,left( {y = 2} ight) hfill cr} ight. cr} )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – 1} ight)) và (left( {0; + infty } ight)) nghịch biến trên khoảng (left( { – 1;0} ight)).

b) Tập xác định: (D =mathbb R)

(eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 4x + 1 cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1,,left( {y = 1} ight) hfill cr
x = {1 over 3},,left( {y = {{31} over {27}}} ight) hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ;{1 over 3}} ight)) và (,left( {1; + infty } ight)) , nghịch biến trên khoảng (,left( {{1 over 3};1} ight)).

c) Tập xác định: (D =mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(eqalign{
& y’ = 1 – {3 over {{x^2}}} = {{{x^2} – 3} over {{x^2}}} cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = sqrt 3 ,,left( {y = 2sqrt 3 } ight) hfill cr
x = – sqrt 3 ,,left( {y = – 2sqrt 3 } ight) hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – infty ; – sqrt 3 } ight)) và (,left( {sqrt 3 ; + infty } ight)) , nghịch biến trên khoảng (left( { – sqrt 3 ;0} ight)) và (,left( {0;sqrt 3 } ight)).

d) Tập xác định: (D = mathbb Rackslash left{ 0 ight})

(y’ = 1 + {2 over {{x^2}}} > 0) với mọi (x e 0)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,,left( { – infty ;0} ight)) và (left( {0; + infty } ight)).

e) Tập xác định: (D= mathbb R)

(y’ = 4{x^3} – 4x = 4xleft( {{x^2} – 1} ight);y’ = 0 )

( Leftrightarrow ,left[ matrix{
x = 0,,,,left( {y = – 5} ight) hfill cr
x = pm 1,,,,left( {y = – 6} ight) hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (,left( { – infty ; – 1} ight)) và (left( {0;1} ight)), đồng biến trên mỗi khoảng (left( { – 1;0} ight)) và (left( {1; + infty } ight)).

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi (4 – {x^2} ge 0 Leftrightarrow  – 2 le x le 2)

Tập xác định: (D = left[ { – 2;2} ight])

(y’ = {{ – 2x} over {2sqrt {4 – {x^2}} }} = {{ – x} over {sqrt {4 – {x^2}} }};y’ = 0 Leftrightarrow )(x = 0,,,left( {y = 2} ight))

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( { – 2;0} ight)) và nghịch biến trên khoảng (left( {0;2} ight)) .