Bài 3.45 trang 164 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

(A{C^2} + B{{ m{D}}^2} = A{{ m{D}}^2} + B{C^2})

Giải:

Giả sử AB⊥CD ta phải chứng minh (A{C^2} + B{{ m{D}}^2} = A{{ m{D}}^2} + B{C^2}).

Thật vậy, kẻ BE⊥CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD⊥(ABE) nên CD⊥AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

(eqalign{
& A{C^2} = A{{ m{E}}^2} + C{E^2} cr
& B{{ m{D}}^2} = B{E^2} + E{{ m{D}}^2} cr
& B{C^2} = A{{ m{E}}^2} + E{C^2} cr
& { m{A}}{{ m{D}}^2} = A{E^2} + E{{ m{D}}^2} cr} ) 

Từ đó ta suy ra (A{C^2} + B{{ m{D}}^2} = A{D^2} + B{C^2})

Ngược lại nếu tứ diện ABCD có (A{C^2} + B{{ m{D}}^2} = A{{ m{D}}^2} + B{C^2}) thì: (A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{ m{D}}^2}).

Nếu (A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{ m{D}}^2} = {k^2}) thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho (I{H^2} = {{{k^2}} over {2C{ m{D}}}}).

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD⊥AB.

Nếu (A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{ m{D}}^2} =  - {k^2}) thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên (A{D^2} - A{C^2} = B{{ m{D}}^2} - B{C^2} =  - {k^2}).

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi (A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{C^2}).

Sachbaitap.com